標本補対数対数比率の漸近分布

〔1〕対立仮説の下での漸近分布
二項分布の正規近似により、標本比率は漸近的に、 $$\begin{array}{r}p\stackrel{d}{\to }\mathrm{N}[\pi ,\frac{\pi (1-\pi )}{n}]\end{array}$$ ここで、 $$\begin{array}{c}g\left(\pi \right)=\log (-\log \pi )\\ g\left(p\right)=\log (-\log p)\end{array}$$ と変数変換する。 デルタ法を用いて、$g\left(p\right)$ を期待値 $E\left(p\right)=\pi$ まわりでテイラー展開すると、$g\left(p\right)$ の1階微分は、 $$\begin{array}{rl}{g}^{\prime }\left(p\right)& =-\frac{1}{\log p}\cdot \frac{d}{dp}(\log p)\\ & =-\frac{1}{p\log p}\end{array}$$ よって、デルタ法における期待値と分散の公式より、 $$\begin{array}{rl}E\left\{g\left(p\right)\right\}& \cong E\left[g\left(\pi \right)\right]\\ & =\log (-\log \pi )\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}V\left[g\left(p\right)\right]& \cong {\left\{g^{\prime }\left(\pi \right)\right\}}^{2}V\left(p\right)\\ & =\frac{1}{{(\pi \log \pi )}^2}\cdot \frac{\pi (1-\pi )}{n}\\ & =\frac{1-\pi }{n\pi {(\log \pi )}^2}\end{array}$$ したがって、スラツキーの定理より、 $$\begin{array}{r}\hat{\theta }\stackrel{d}{\to }\mathrm{N}[\log (-\log \pi ),\frac{1-\pi }{n\pi {(\log \pi )}^2}]\end{array}$$ 母比率を一致推定量である標本比率で置き換えると、標本比率の分散の一致推定量は、 $$\begin{array}{c}{\hat{\sigma }}_1^2=\frac{1-\hat{\pi }}{n\hat{\pi }{(\log \hat{\pi })}^2}\end{array}$$

〔2〕帰無仮説の下での漸近分布
$\pi ={\pi }_0$ を代入すると、帰無仮説のもとで、 $$\begin{array}{r}\hat{\theta }\stackrel{d}{\to }\mathrm{N}[\log (-\log {\pi }_0),\frac{1-{\pi }_0}{n{\pi }_0{(\log {\pi }_0)}^2}]\end{array}$$ $◼$