標本対数曝露オッズ比の漸近分布

二項分布の正規近似により、標本比率は漸近的に $$\begin{array}{c}{p}_1\sim N[{\pi }_1,\frac{{\pi }_1(1-{\pi }_1)}{n_1}]\\ p_0\sim N[{\pi }_0,\frac{{\pi }_0(1-{\pi }_0)}{n_0}]\end{array}$$ ここで、 $$\begin{array}{c}g\left({\pi }_i\right)=\log \frac{{\pi }_i}{1-{\pi }_i}\\ g\left(p_i\right)=\log \frac{p_i}{1-p_i}\end{array}$$ と変数変換する。 デルタ法を用いて、$g\left(p_i\right)$ を期待値 $E\left(p_i\right)={\pi }_i$ まわりでテイラー展開すると、$g\left(p_i\right)$ の1階微分は、 $$\begin{array}{rl}{g}^{\prime }\left(p_i\right)& =\frac{1-p_i}{p_i}\cdot \frac{d}{d{p}_i}\left(\frac{p_i}{1-p_i}\right)\\ & =\frac{1-p_i}{p_i}\cdot \frac{(1-p_i)-1}{{(1-p_i)}^2}\\ & =\frac{1}{p_i(1-p_i)}\end{array}$$ よって、デルタ法における期待値と分散の公式より、 $$\begin{array}{rl}E\left\{g\left(p_i\right)\right\}& \cong E\left[g\left({\pi }_i\right)\right]\\ & =\log \frac{{\pi }_i}{1-{\pi }_i}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}V\left[g\left(p_i\right)\right]& \cong {\left\{g^{\prime }\left({\pi }_i\right)\right\}}^{2}V\left(p_i\right)\\ & =\frac{1}{{\pi }_i^2{(1-{\pi }_i)}^2}\cdot \frac{{\pi }_i(1-{\pi }_i)}{n_i}\\ & =\frac{1}{n_i{\pi }_i(1-{\pi }_i)}\end{array}$$ スラツキーの定理より、 $$\begin{array}{r}\log p_i\stackrel{d}{\to }\mathrm{N}[\log \frac{{\pi }_i}{1-{\pi }_i},\frac{1}{n_i{\pi }_i(1-{\pi }_i)}]\end{array}$$ このとき、標本対数発症オッズ比は、 $$\begin{array}{r}\log \widehat{\mathrm{OR}}=\log \frac{p_1}{1-p_1}-\log \frac{p_0}{1-p_0}\end{array}$$ したがって、正規分布の再生性より、 $$\begin{array}{r}\log \widehat{\mathrm{OR}}\stackrel{d}{\to }\mathrm{N}[\log \frac{{\pi }_1}{1-{\pi }_1}-\log \frac{{\pi }_0}{1-{\pi }_0},\frac{1}{n_1{\pi }_1(1-{\pi }_1)}+\frac{1}{n_0{\pi }_0(1-{\pi }_0)}]\end{array}$$ 母比率を一致推定量である標本比率で置き換えると、期待値と分散の一致推定量は、 $$\begin{array}{c}\hat{E}[\log \widehat{\mathrm{OR}}]=\log \frac{p_1}{1-p_1}-\log \frac{p_0}{1-p_0}\\ \hat{V}(\log \widehat{\mathrm{OR}})=\frac{1}{n_1{p}_0(1-p_0)}+\frac{1}{n_0{p}_0(1-p_0)}\end{array}$$ 分散についての式を部分分数分解すると、 $$\begin{array}{rl}{\hat{\sigma }}_1^2& =\frac{1}{n_1{p}_1}+\frac{1}{n_1(1-p_1)}+\frac{1}{n_0{p}_0}+\frac{1}{n_0(1-p_0)}\end{array}$$ ここで、各セルの値について、 $$\begin{array}{c}a=n_1{p}_1\\ c=n_1(1-p_1)\\ b=n_0{p}_0\\ d=n_0(1-p_0)\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}{\hat{\sigma }}_1^2=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\end{array}$$

〔2〕帰無仮説の下での漸近分布
${\pi }_1={\pi }_0=\pi$ を代入すると、帰無仮説のもとで、 $$\begin{array}{r}\log \widehat{\mathrm{OR}}\stackrel{d}{\to }\mathrm{N}[0,\frac{1}{\pi (1-\pi )}(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_0})]\end{array}$$ 共通の母比率 $\pi$ の一致推定量は、 $$\begin{array}{r}\hat{\pi }=\frac{m_1}{N}\end{array}$$ これを用いて、母比率を一致推定量である標本比率で置き換えると、漸近分散の一致推定量は、 $$\begin{array}{rl}{\hat{\sigma }}_0^2& =\frac{1}{\hat{\pi }(1-\hat{\pi })}(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_0})\\ & =\frac{N}{m_1}\cdot \frac{N}{m_0}\cdot \frac{N}{n_1{n}_0}\\ & =\frac{N^3}{m_1{m}_0{n}_1{n}_0}\end{array}$$

そして、発症オッズ比と曝露オッズ比の同等性から、ここで導出した漸近分布や漸近分散は、 $$\begin{array}{c}\pi \Rightarrow \varphi \end{array}$$ と置き換えて、そのまま適用することができる。 $◼$