標本対数曝露オッズ比の漸近分布

二項分布の正規近似により、標本比率は漸近的に \begin{gather} p_1 \sim N \left[\pi_1,\frac{\pi_1 \left(1-\pi_1\right)}{n_1}\right]\\ p_0 \sim N \left[\pi_0,\frac{\pi_0 \left(1-\pi_0\right)}{n_0}\right] \end{gather} ここで、 \begin{gather} g \left(\pi_i\right)=\log{\frac{\pi_i}{1-\pi_i}}\\ g \left(p_i\right)=\log{\frac{p_i}{1-p_i}} \end{gather} と変数変換する。 デルタ法を用いて、$g \left(p_i\right)$ を期待値 $E \left(p_i\right)=\pi_i$ まわりでテイラー展開すると、$g \left(p_i\right)$ の1階微分は、 \begin{align} g^\prime \left(p_i\right)&=\frac{1-p_i}{p_i} \cdot \frac{d}{dp_i} \left(\frac{p_i}{1-p_i}\right)\\ &=\frac{1-p_i}{p_i} \cdot \frac{ \left(1-p_i\right)-1}{ \left(1-p_i\right)^2}\\ &=\frac{1}{p_i \left(1-p_i\right)} \end{align} よって、デルタ法における期待値と分散の公式より、 \begin{align} E \left\{g \left(p_i\right)\right\}&\cong E \left[g \left(\pi_i\right)\right]\\ &=\log{\frac{\pi_i}{1-\pi_i}}\\ \end{align} \begin{align} V \left[g \left(p_i\right)\right]&\cong \left\{g^\prime \left(\pi_i\right)\right\}^2V \left(p_i\right)\\ &=\frac{1}{\pi_i^2 \left(1-\pi_i\right)^2} \cdot \frac{\pi_i \left(1-\pi_i\right)}{n_i}\\ &=\frac{1}{n_i\pi_i \left(1-\pi_i\right)} \end{align} スラツキーの定理より、 \begin{align} \log{p_i}\xrightarrow[]{d}\mathrm{N} \left[\log{\frac{\pi_i}{1-\pi_i}},\frac{1}{n_i\pi_i \left(1-\pi_i\right)}\right] \end{align} このとき、標本対数発症オッズ比は、 \begin{align} \log{\mathrm{\widehat{OR}}}=\log{\frac{p_1}{1-p_1}}-\log{\frac{p_0}{1-p_0}} \end{align} したがって、正規分布の再生性より、 \begin{align} \log{\mathrm{\widehat{OR}}}\xrightarrow[]{d}\mathrm{N} \left[\log{\frac{\pi_1}{1-\pi_1}}-\log{\frac{\pi_0}{1-\pi_0}},\frac{1}{n_1\pi_1 \left(1-\pi_1\right)}+\frac{1}{n_0\pi_0 \left(1-\pi_0\right)}\right] \end{align} 母比率を一致推定量である標本比率で置き換えると、期待値と分散の一致推定量は、 \begin{gather} \hat{E} \left[\log{\mathrm{\widehat{OR}}}\right]=\log{\frac{p_1}{1-p_1}}-\log{\frac{p_0}{1-p_0}}\\ \hat{V} \left(\log{\mathrm{\widehat{OR}}}\right)=\frac{1}{n_1p_0 \left(1-p_0\right)}+\frac{1}{n_0p_0 \left(1-p_0\right)} \end{gather} 分散についての式を部分分数分解すると、 \begin{align} {\hat{\sigma}}_1^2&=\frac{1}{n_1p_1}+\frac{1}{n_1 \left(1-p_1\right)}+\frac{1}{n_0p_0}+\frac{1}{n_0 \left(1-p_0\right)} \end{align} ここで、各セルの値について、 \begin{gather} a=n_1p_1\\ c=n_1 \left(1-p_1\right)\\ b=n_0p_0\\ d=n_0 \left(1-p_0\right) \end{gather} したがって、 \begin{align} {\hat{\sigma}}_1^2=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d} \end{align}

〔2〕帰無仮説の下での漸近分布
$\pi_1=\pi_0=\pi$ を代入すると、帰無仮説のもとで、 \begin{align} \log{\mathrm{\widehat{OR}}}\xrightarrow[]{d}\mathrm{N} \left[0,\frac{1}{\pi \left(1-\pi\right)} \left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_0}\right)\right] \end{align} 共通の母比率 $\pi$ の一致推定量は、 \begin{align} \hat{\pi}=\frac{m_1}{N} \end{align} これを用いて、母比率を一致推定量である標本比率で置き換えると、漸近分散の一致推定量は、 \begin{align} {\hat{\sigma}}_0^2&=\frac{1}{\hat{\pi} \left(1-\hat{\pi}\right)} \left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_0}\right)\\ &=\frac{N}{m_1} \cdot \frac{N}{m_0} \cdot \frac{N}{n_1n_0}\\ &=\frac{N^3}{m_1m_0n_1n_0} \end{align}

そして、発症オッズ比と曝露オッズ比の同等性から、ここで導出した漸近分布や漸近分散は、 \begin{gather} \pi\Rightarrow\phi \end{gather} と置き換えて、そのまま適用することができる。 $\blacksquare$