標本対数発症オッズの漸近分布

〔1〕対立仮説の下での漸近分布
二項分布の正規近似により、標本比率は漸近的に、 \begin{align} p\xrightarrow[]{d}\mathrm{N} \left[\pi,\frac{\pi \left(1-\pi\right)}{n}\right] \end{align} ここで、 \begin{gather} \theta=g \left(\pi\right)=\log{\frac{\pi}{1-\pi}}\\ \hat{\theta}=g \left(p\right)=\log{\frac{p}{1-p}} \end{gather} と変数変換する。 デルタ法を用いて、$g \left(p\right)$ を期待値 $E \left(p\right)=\pi$ まわりでテイラー展開すると、$g \left(p\right)$ の1階微分は、 \begin{align} g^\prime \left(p\right)&=\frac{1-p}{p} \cdot \frac{d}{dp} \left(\frac{p}{1-p}\right)\\ &=\frac{1-p}{p} \cdot \frac{ \left(1-p\right)- \left(-p\right)}{ \left(1-p\right)^2}\\ &=\frac{1}{p \left(1-p\right)} \end{align} よって、デルタ法における期待値と分散の公式より、 \begin{align} E \left\{g \left(p\right)\right\}&\cong E \left[g \left(\pi\right)\right]\\ &=\log{\frac{\pi}{1-\pi}}\\ \end{align} \begin{align} V \left[g \left(p\right)\right]&\cong \left\{g^\prime \left(\pi\right)\right\}^2V \left(p\right)\\ &=\frac{1}{\pi^2 \left(1-\pi\right)^2} \cdot \frac{\pi \left(1-\pi\right)}{n}\\ &=\frac{1}{n\pi \left(1-\pi\right)} \end{align} したがって、スラツキーの定理より、 \begin{align} \hat{\theta}\xrightarrow[]{d}\mathrm{N} \left[\log{\frac{\pi}{1-\pi}},\frac{1}{n\pi \left(1-\pi\right)}\right] \end{align} 母比率を一致推定量である標本比率で置き換えると、標本比率の分散の一致推定量は、 \begin{gather} {\hat{\sigma}}_1^2=\frac{\hat{\pi} \left(1-\hat{\pi}\right)}{n} \end{gather}

〔2〕帰無仮説の下での漸近分布
$\pi=\pi_0$ を代入すると、帰無仮説のもとで、 \begin{align} \hat{\theta}\xrightarrow[]{d}\mathrm{N} \left[\log{\frac{\pi_0}{1-\pi_0}},\frac{1}{n\pi_0 \left(1-\pi_0\right)}\right] \end{align} $\blacksquare$