ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』 問題3.5 解答例

本稿は、ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』の「問題3.5」の自作解答例です。大標本における平均発生率の差に対するサンプルサイズと検出力に関する問題です。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

問題3.5.2：対立仮説における標本平均の差の分布

総数 $N$ のサンプルを集めるときの各群の割合が ${\xi }_1,{\xi }_2$ のとき、 $$\begin{array}{r}{n}_1=N{\xi }_1{n}_2=N{\xi }_2\end{array}$$ それぞれの標本平均を以下のようにおくと、 $$\begin{array}{r}{\hat{\lambda }}_1=\frac{d_1}{n_1}{\hat{\lambda }}_2=\frac{d_2}{n_2}\end{array}$$ ポアソン分布の正規近似により、漸近的に $$\begin{array}{r}{d}_1\sim \mathrm{N}(n_1{\lambda }_1,n_1{\lambda }_1)d_2\sim \mathrm{N}(n_2{\lambda }_2,n_2{\lambda }_2)\end{array}$$ 線形変換の性質より、 $$\begin{array}{r}{\hat{\lambda }}_1\sim \mathrm{N}({\lambda }_1,\frac{{\lambda }_1}{n_1}){\hat{\lambda }}_2\sim \mathrm{N}({\lambda }_2,\frac{{\lambda }_2}{n_2})\end{array}$$ 母数の差と標本平均の差を以下のようにおくと、 $$\begin{array}{c}\delta ={\lambda }_1-{\lambda }_2\\ \hat{\delta }={\hat{\lambda }}_1-{\hat{\lambda }}_2\end{array}$$ 正規分布の再生性より、 $$\begin{array}{c}\hat{\delta }\sim N({\lambda }_1-{\lambda }_2,{\sigma }_1^2)\\ {\sigma }_1^2=\frac{{\lambda }_1}{n_1}+\frac{{\lambda }_2}{n_2}\end{array}$$ 標本平均の差標準化した値は、 $$\begin{array}{r}\frac{\hat{\delta }-\delta }{{\sigma }_1}=Z_1\sim N(0,1)\end{array}$$ $◼$

問題3.5.1：帰無仮説における標本平均の差の分布

帰無仮説における共通の母比率と標本比率は、 $$\begin{array}{c}\lambda ={\xi }_1{\lambda }_1+{\xi }_2{\lambda }_2\\ \hat{\lambda }=\frac{d_1+d_2}{n_1+n_2}=\frac{d_1+d_2}{N}\end{array}$$ 帰無仮説のもとでは、 $$\begin{array}{c}\hat{\delta }\sim \mathrm{N}(0,{\sigma }_0^2)\\ {\sigma }_0^2=\lambda (\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})\end{array}$$ 標本平均の差を標準化した値は、 $$\begin{array}{c}\frac{\hat{\delta }}{{\sigma }_0}=Z_0\sim \mathrm{N}(0,1)\end{array}$$ $◼$

問題3.5.3：サンプルサイズの公式

対立仮説における標本平均の差の分散について、 $$\begin{array}{rl}{\sigma }_1^2& =\frac{{\lambda }_1}{n_1}+\frac{{\lambda }_2}{n_2}=\frac{{\lambda }_1}{N{\xi }_1}+\frac{{\lambda }_2}{N{\xi }_2}\\ & =\frac{{\lambda }_1{n}_2+{\lambda }_2{n}_1}{n_1{n}_2}=\frac{{\lambda }_1{\xi }_2+{\lambda }_2{\xi }_1}{N{\xi }_1{\xi }_2}\\ {\sigma }_1& =\frac{\sqrt{{\lambda }_1{n}_2+{\lambda }_2{n}_1}}{\sqrt{n_1{n}_2}}=\frac{\sqrt{{\lambda }_1{\xi }_2+{\lambda }_2{\xi }_1}}{\sqrt{N{\xi }_1{\xi }_2}}\end{array}$$ 帰無仮説における標本平均の差の分散について、 $$\begin{array}{rl}{\sigma }_0^2& =\lambda (\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})=\frac{\lambda }{N}(\frac{1}{{\xi }_1}+\frac{1}{{\xi }_2})\\ & =\lambda \left(\frac{n_1+n_2}{n_1{n}_2}\right)=\frac{\lambda }{N}\left(\frac{{\xi }_1+{\xi }_2}{{\xi }_1{\xi }_2}\right)\\ & =\frac{N\lambda }{n_1{n}_2}=\frac{\lambda }{N{\xi }_1{\xi }_2}\\ {\sigma }_0& =\frac{\sqrt{N\lambda }}{\sqrt{n_1{n}_2}}=\frac{\sqrt{\lambda }}{\sqrt{N{\xi }_1{\xi }_2}}\end{array}$$ 臨床的有意差・有意水準・検出力の関係式より、 $$\begin{array}{rl}{\lambda }_1-{\lambda }_2& =Z_{0.5\alpha }\cdot {\sigma }_0-Z_{1-\beta }\cdot {\sigma }_1\\ \text{(1)}& & =Z_{0.5\alpha }\cdot \frac{\sqrt{\lambda }}{\sqrt{N{\xi }_1{\xi }_2}}-Z_{1-\beta }\cdot \frac{\sqrt{{\lambda }_1{\xi }_2+{\lambda }_2{\xi }_1}}{\sqrt{N{\xi }_1{\xi }_2}}\end{array}$$ 式 $(1)$ を総サンプルサイズ $N$ について解くと、 $$\begin{array}{rl}\sqrt{N}& =\frac{Z_{0.5\alpha }\sqrt{\lambda }-Z_{1-\beta }\sqrt{{\lambda }_1{\xi }_2+{\lambda }_2{\xi }_1}}{({\lambda }_1-{\lambda }_2)\sqrt{{\xi }_1{\xi }_2}}\\ N& =\frac{{(Z_{0.5\alpha }\sqrt{\lambda }-Z_{1-\beta }\sqrt{{\lambda }_1{\xi }_2+{\lambda }_2{\xi }_1})}^2}{{({\lambda }_1-{\lambda }_2)}^2\cdot {\xi }_1{\xi }_2}\end{array}$$ $◼$

問題3.5.4：検出力の公式

式 $(1)$ を検出力 $Z_{1-\beta }$ について解くと、 $$\begin{array}{c}{Z}_{1-\beta }\cdot \frac{\sqrt{{\lambda }_1{\xi }_2+{\lambda }_2{\xi }_1}}{\sqrt{N{\xi }_1{\xi }_2}}=Z_{0.5\alpha }\cdot \frac{\sqrt{\lambda }}{\sqrt{N{\xi }_1{\xi }_2}}-({\lambda }_1-{\lambda }_2)\\ Z_{1-\beta }=\frac{Z_{0.5\alpha }\sqrt{\lambda }-({\lambda }_1-{\lambda }_2)\sqrt{N{\xi }_1{\xi }_2}}{\sqrt{{\lambda }_1{\xi }_2+{\lambda }_2{\xi }_1}}\end{array}$$ $◼$

問題3.5.5：サンプルサイズ設計の例題

サンプルサイズ設計の公式に与えられた数値 $$\begin{array}{c}\alpha =0.051-\beta =0.9\\ {\lambda }_1=0.20{\lambda }_2=0.35\\ {\xi }_1={\xi }_2=\frac{1}{2}\\ \lambda =\frac{0.20+0.35}{2}=0.275\end{array}$$ を代入すると、 $$\begin{array}{rl}N& =\frac{{(1.960\cdot \sqrt{0.275}+1.282\cdot \sqrt{0.20\cdot 0.5+0.35\cdot 0.5})}^2}{{(0.35-0.20)}^2\cdot 0.5\cdot 0.5}\\ & \cong 513.7\end{array}$$ $N$ は、これを満たす最小の偶数として、 $$\begin{array}{r}N=514\end{array}$$ $◼$

問題3.5.6：検出力算出の例題

検出力の公式に与えられた数値 $$\begin{array}{c}\alpha =0.05N=200\\ {\lambda }_1=0.20{\lambda }_2=0.35\\ {\xi }_1={\xi }_2=\frac{1}{2}\\ \lambda =\frac{0.20+0.35}{2}=0.275\end{array}$$ を代入すると、 $$\begin{array}{rl}{Z}_{1-\beta }& =\frac{1.960\cdot \sqrt{0.275}-(0.35-0.20)\cdot \sqrt{200\cdot 0.5\cdot 0.5}}{\sqrt{0.20\cdot 0.5+0.35\cdot 0.5}}\\ & \cong -0.063\end{array}$$ 標準正規分布表で $-0.063$ が上側何%点にあたるかを調べると、 $$\begin{array}{r}1-\beta =0.525=52.5\mathrm{\%}\end{array}$$ $◼$

参考文献

• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.123-124

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