対応のある連続値データ

本稿では、介入研究やクロスオーバー試験などにおける対応のある連続値データのデータ形式や基本統計量などについての定義をまとめています。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

データの形式

対応のある連続値変数（例えば、処置前後の血圧値など）が正規分布 $$\begin{array}{r}X\sim \mathrm{N}({\mu }_1,{\sigma }_1^2)Y\sim {\mathrm{D}}_0({\mu }_0,{\sigma }_0^2)\end{array}$$ に従い、 被験者数（サンプルサイズ）を $$\begin{array}{c}n\end{array}$$ 母集団分布からの互いに独立な無作為標本を $$\begin{array}{r}\mathit{X}=\left\{\begin{array}{c}{X}_1,Y_1\\ X_2,X_2\\ ⋮\\ X_n,Y_n\end{array}\right\}\end{array}$$ とする。 測定値の前後差を $$\begin{array}{c}{d}_i=X_i-Y_i\\ \mathit{d}=\{d_1,d_2,\cdots ,d_n\}\end{array}$$ とし、 測定値の前後差が互いに独立に正規分布 $$\begin{array}{c}{d}_i\sim \mathrm{N}({\mu }_d,{\sigma }_d^2)\end{array}$$ に従うとする。

基本統計量

標本平均

$$\begin{array}{c}\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i=\frac{1}{n}(X_1+X_2+\cdots +X_n)\\ \overline{Y}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i=\frac{1}{n}(Y_1+Y_2+\cdots +Y_n)\\ \overline{d}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{d}_i=\frac{1}{n}(d_1+d_2+\cdots +d_n)\end{array}$$

標本分散・標本不偏分散

前後差の標本分散 $$\begin{array}{c}{S}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(d_i-\overline{d})}^2\end{array}$$ 前後差の標本不偏分散 $$\begin{array}{c}{\hat{\sigma }}_d^2=s^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{(d_i-\overline{d})}^2\end{array}$$

前後差の平均

$$\begin{array}{c}{\mu }_d={\mu }_1-{\mu }_0\\ {\hat{\mu }}_d=\overline{d}\end{array}$$

参考文献

• 東京大学教養学部統計学教室 編. 基礎統計学 1 統計学入門. 東京大学出版会, 1991, p.175-186