ペア・マッチングされたデータ内での相関-あるノマドの知の旅路～数学・統計学への道

本稿では、ペア・マッチングされたデータには、データ内での相関があることを証明しています。この命題により、データ間の独立性を仮定する解析方法の妥当性が損なわれるため、マッチングされたデータについては、特別な解析方法が必要となります。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

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曝露（発症）状況を表す右下の添え字は、「0」である場合（ $n_{0}, π_{0}$ など）や「2」である場合（ $n_{2}, π_{2}$ など）がありますが、どちらも「非曝露群（コントロール群）」を表しています。

1.前提条件①：二値応答の場合
2.【命題】マッチングされたペア内での相関① 二値応答の場合
- 2.1.導出法：全共分散の法則・全分散の法則を使用する方法
3.前提条件②：連続値応答の場合
4.【命題】マッチングされたペア内での相関② 連続値応答の場合
- 4.1.導出法：全共分散の法則・全分散の法則を使用する方法
5.参考文献
6.関連記事

前提条件①：二値応答の場合

各ペアの曝露者と非曝露者は、ある連続な共変量 $Z$ の値にもとづいてマッチングされており、応答値がある値を取る確率は共変量の関数であるとする。

仮定①

$j$ を任意のペアのメンバーの曝露状況を表す指示変数を $\begin{matrix} j = {\begin{matrix} 1 & Exposed \\ 0 & Unexposed \end{matrix} \end{matrix}$ $i$ 番目のペア内での、曝露者と非曝露者の発症状況を表す確率変数を $\begin{matrix} Y_{i j} = {\begin{matrix} 1 & Disease \\ 0 & Not Disease \end{matrix} \end{matrix}$ とし、確率変数 $Y_{i j}$ は、成功確率がそれぞれ $π_{i 1}, π_{i 0}$ のベルヌーイ分布 $\begin{matrix} Y_{i j} \sim Ber (π_{i j}) \\ E (Y_{i 1}) = π_{i 1} E (Y_{i 0}) = π_{i 0} \end{matrix}$ に従っているとする。ここでは、話を単純にするために、一般的な帰無仮説 $\begin{array}{r} π_{i 1} = π_{i 0} \end{array}$ の場合を考える。

仮定②

$i$ 番目のペアについて共変量の値が $Z = z_{i}$ のときの、共通の発症確率を $\begin{matrix} π_{i 1} = π_{i 0} = π (z_{i}) = π_{z} \end{matrix}$ 共通の発症確率の分散を $\begin{array}{r} V (π_{z}) = σ_{π}^{2} \end{array}$ とする。

仮定③

$i$ 番目のペアのメンバーは独立に標本抽出され、マッチングされたベアの応答 $\begin{matrix} y_{i 1} y_{i 0} \end{matrix}$ は条件付き独立とする。すなわち、 $\begin{matrix} E (Y_{i 1} | Y_{i 0}, z_{i}) = E (Y_{i 1} | z_{i}) = π (z_{i}) \\ E (Y_{i 0} | Y_{i 1}, z_{i}) = E (Y_{i 0} | z_{i}) = π (z_{i}) \\ Cov (Y_{1}, Y_{0} | z) = 0 \end{matrix}$

【命題】マッチングされたペア内での相関① 二値応答の場合

【命題】
マッチングされたペア内での相関① 二値応答の場合
Correlation between Matched Pair Data for Dichotomous Response

先述の条件下において、ペア内の応答 $Y_{1}, Y_{0}$ の相関係数は、 $\begin{array}{r} ρ_{Y_{1} Y_{0}} = \frac{σ_{π}^{2}}{E [π_{z} (1 - π_{z})] + σ_{π}^{2}} \end{array}$

導出法：全共分散の法則・全分散の法則を使用する方法

導出

［1］ペア内の共分散
全共分散の法則より、 $\begin{array}{r} Cov (Y_{1}, Y_{2}) = E [Cov (Y_{1}, Y_{2} | z)] + Cov [E (Y_{1} | z), E (Y_{2} | z)] \end{array}$ ここで、 $Y_{1}, Y_{0}$ は、 $Z = z$ において条件付き独立 $Cov (Y_{1}, Y_{0} | z) = 0$ なので、 $\begin{array}{r} E [Cov (Y_{1}, Y_{0} | Z)] = E (0) = 0 \end{array}$ 共分散の公式 $Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y)$ より、 $\begin{array}{r} Cov [E (Y_{1} | Z), E (Y_{0} | Z)] = E [E (y_{i 1} | z) \cdot E (y_{i 0} | z)] - E [E (y_{i 1} | z)] \cdot E [E (y_{i 0} | z)] \end{array}$ また $E (Y_{1} | Z) = E (Y_{0} | Z) = π (z)$ より、 $\begin{array}{r} Cov [E (Y_{1} | Z), E (Y_{0} | Z)] = E [{π (z)}^{2}] - {[E {π (z)}]}^{2} \end{array}$ 分散の公式 $V (X) = E (X^{2}) - {E (X)}^{2}$ より、 $\begin{array}{r} Cov [E (Y_{1} | Z), E (Y_{0} | Z)] = V {π (z)} = σ_{π}^{2} \end{array}$ したがって、 $\begin{array}{r} Cov (Y_{1}, Y_{0}) = σ_{π}^{2} \neq 0 \end{array}$

［2］応答値の分散
全分散の法則 $V (X) = E [V (X | Y)] + V [E (X | Y)]$ より、 $\begin{array}{r} V (Y_{j}) = E [V (Y_{j} | z)] + V [E (Y_{j} | z)] \end{array}$ ベルヌーイ分布の分散の公式 $V (X) = p (1 - p)$ より、 $\begin{aligned} V (Y_{j}) & = E [π_{z} (1 - π_{z})] + V (π_{z}) \\ = E [π_{z} (1 - π_{z})] + σ_{π}^{2} \end{aligned}$

［3］ペア内の相関係数
相関係数の定義式より、 $\begin{aligned} ρ_{Y_{1} Y_{0}} & = \frac{Cov (Y_{1}, Y_{0})}{\sqrt{V (Y_{1})} \sqrt{V (Y_{0})}} \\ = \frac{σ_{π}^{2}}{\sqrt{E [π_{z} (1 - π_{z})] + σ_{π}^{2}} \cdot \sqrt{E [π_{z} (1 - π_{z})] + σ_{π}^{2}}} \\ = \frac{σ_{π}^{2}}{E [π_{z} (1 - π_{z})] + σ_{π}^{2}} \end{aligned}$ $◼$

前提条件②：連続値応答の場合

仮定①

$j$ を任意のペアのメンバーの曝露状況を表す指示変数を $\begin{matrix} j = {\begin{matrix} 1 & Exposed \\ 0 & Unexposed \end{matrix} \end{matrix}$ $i$ 番目のペア内での、曝露者と非曝露者の連続的な応答値を表す確率変数を $\begin{matrix} Y_{i j} \end{matrix}$ とする。

仮定②

$Y_{i j}$ に対して、回帰モデル $\begin{matrix} y_{i j} = u (z_{i}) + ε_{i j} \end{matrix}$ を考える。ただし、 $u (z_{i}) = u_{z}$ は、共変量の値が $Z = z$ のときの $Y_{i j}$ の条件付き期待値とし、 $\begin{matrix} u_{z} = E (y_{i 1} | z_{i}) = E (y_{i 0} | z_{i}) \\ V (u_{z}) = σ_{u}^{2} \end{matrix}$ を満たす。誤差項 $ε_{i j}$ は、 $\begin{matrix} E (ε_{i j}) = 0 V (ε_{i j}) = σ_{ε}^{2} \\ Cov (ε_{i 1}, ε_{i 2}) = 0 \end{matrix}$ を満たす。

仮定③

誤差項 $ε_{i j}$ と条件付き期待値 $u_{z}$ は互いに独立である。

仮定④

$i$ 番目のペアにおけるメンバーは独立に標本抽出され、マッチングされたベアの応答値 $\begin{matrix} y_{i 1} y_{i 0} \end{matrix}$ は条件付き独立とする。 $\begin{matrix} E (Y_{i 1} | Y_{i 0}, Z) = E (Y_{i 1} | Z) = u_{z} \\ E (Y_{i 0} | Y_{i 1}, Z) = E (Y_{i 0} | Z) = u_{z} \\ Cov (Y_{1}, Y_{0} | Z) = 0 \end{matrix}$

【命題】マッチングされたペア内での相関② 連続値応答の場合

【命題】
マッチングされたペア内での相関② 連続値応答の場合
Correlation between Matched Pair Data for Continuous Value Response

先述の条件下において、ペア内の応答 $Y_{1}, Y_{0}$ の相関係数は、 $\begin{array}{r} ρ_{Y_{1} Y_{0}} = \frac{σ_{u}^{2}}{σ_{u}^{2} + σ_{ε}^{2}} \end{array}$

導出法：全共分散の法則・全分散の法則を使用する方法

導出

〔1〕ペア内の共分散
全共分散の法則より、 $\begin{array}{r} Cov (Y_{1}, Y_{0}) = E [Cov (Y_{1}, Y_{0} | z)] + Cov [E (Y_{1} | z), E (Y_{0} | z)] \end{array}$ ここで、 $Y_{1}, Y_{0}$ は、 $Z = z$ において条件付き独立 $Cov (Y_{1}, Y_{0} | z) = 0$ なので、 $\begin{array}{r} E [Cov (Y_{1}, Y_{0} | Z)] = E (0) = 0 \end{array}$ 共分散の公式 $Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y)$ より、 $\begin{array}{r} Cov [E (Y_{1} | z), E (Y_{0} | z)] = E [E (y_{i 1} | z) \cdot E (y_{i 0} | z)] - E [E (y_{i 1} | z)] \cdot E [E (y_{i 0} | z)] \end{array}$ また $E (Y_{1} | z) = E (Y_{0} | z) = u_{z}$ より、 $\begin{array}{r} Cov [E (Y_{1} | z), E (Y_{0} | z)] = E (u_{z}^{2}) - {[E (u_{z})]}^{2} \end{array}$ 分散の公式 $V (X) = E (X^{2}) - {E (X)}^{2}$ より、 $\begin{array}{r} Cov [E (Y_{1} | Z), E (Y_{0} | Z)] = V (u_{z}) \end{array}$ したがって、 $V (u_{z}) = σ_{u}^{2}$ とすると、 $\begin{array}{r} Cov (Y_{1}, Y_{0}) = σ_{u}^{2} \neq 0 \end{array}$

〔2〕応答値の分散
回帰式の分散を取ると、 $u_{z}$ は定数なので、 $\begin{aligned} V (Y_{j} | z) & = V (u_{z} + ε_{i 1} | z) \\ = V (ε_{i 1}) \\ = σ_{ε}^{2} \end{aligned}$ 全分散の法則 $V (X) = E [V (X | Y)] + V [E (X | Y)]$ より、 $\begin{aligned} V (Y_{j}) & = E (σ_{ε}^{2}) + V (u_{z}) \\ = σ_{u}^{2} + σ_{ε}^{2} \end{aligned}$

〔3〕ペア内の相関係数
相関係数の定義式より、 $\begin{aligned} ρ_{Y_{1} Y_{0}} & = \frac{Cov (Y_{1}, Y_{0})}{\sqrt{V (Y_{1})} \sqrt{V (Y_{0})}} \\ = \frac{σ_{u}^{2}}{\sqrt{σ_{u}^{2} + σ_{ε}^{2}} \cdot \sqrt{σ_{u}^{2} + σ_{ε}^{2}}} \\ = \frac{σ_{u}^{2}}{σ_{ε}^{2} + σ_{u}^{2}} \end{aligned}$ $◼$

参考文献

ジョン・ラチン著, 宮岡悦良監訳, 遠藤輝, 黒沢健, 下川朝有, 寒水孝司訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.223-224, 258

ペア・マッチングされたデータ内での相関

前提条件①：二値応答の場合

仮定①

仮定②

仮定③

【命題】マッチングされたペア内での相関① 二値応答の場合

導出法：全共分散の法則・全分散の法則を使用する方法

前提条件②：連続値応答の場合

仮定①

仮定②

仮定③

仮定④

【命題】マッチングされたペア内での相関② 連続値応答の場合

導出法：全共分散の法則・全分散の法則を使用する方法

参考文献

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仮定①

仮定②

仮定③

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導出法：全共分散の法則・全分散の法則を使用する方法

前提条件②：連続値応答の場合

仮定①

仮定②

仮定③

仮定④

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