互いに独立なガンマ分布の比と和の分布とベータ分布の線形変換

確率変数 $X,Y$ の確率密度関数をそれぞれ $g \left(x\right) \cdot h \left(y\right)$ とすると、定義式より、 \begin{gather} g \left(x\right)= \left\{\begin{matrix}\displaystyle\frac{\beta^{\alpha_1}}{\Gamma \left(\alpha_1\right)}x^{\alpha_1-1}e^{-\beta x}&0 \le x\\0&x \lt 0\\\end{matrix}\right.\\ h \left(y\right)= \left\{\begin{matrix}\displaystyle\frac{\beta^{\alpha_2}}{\mathrm{\Gamma} \left(\alpha_2\right)}y^{\alpha_2-1}e^{-\beta y}&0 \le y\\0&y \lt 0\\\end{matrix}\right. \end{gather} 確率変数の独立性の定義式 $f \left(x,y\right)=g \left(x\right) \cdot h \left(y\right)$ より、同時確率密度関数は、 \begin{align} f \left(x,y\right)=\frac{\beta^{\alpha_1}}{\Gamma \left(\alpha_1\right)}x^{\alpha_1-1}e^{-\beta x} \cdot \frac{\beta^{\alpha_2}}{\Gamma \left(\alpha_2\right)}y^{\alpha_2-1}e^{-\beta y} \end{align} ここで、以下のように変数変換すると、 \begin{align} \left\{\begin{matrix}u=\frac{x}{x+y}\\v=x+y\\\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=uv\\y=v-uv\\\end{matrix}\right. \end{align} 変数変換のヤコビアンは、 \begin{align} \left|J\right|&= \left|\begin{matrix}\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial u}\\\frac{\partial x}{\partial v}&\frac{\partial y}{\partial v}\\\end{matrix}\right|\\ &= \left|\begin{matrix}v&-v\\u&1-u\\\end{matrix}\right|\\ &= \left|v \left(1-u\right)+uv\right|\\ &=v \end{align} 変数変換後の同時確率密度関数の公式 $k \left(u,v\right)=f \left\{x \left(u,v\right),y \left(u,v\right)\right\} \left|J\right|$ より、 \begin{align} k \left(u,v\right)&=f \left(uv,v-uv\right) \cdot v\\ &=\frac{\beta^{\alpha_1}}{\Gamma \left(\alpha_1\right)} \left(uv\right)^{\alpha_1-1}e^{-\beta uv} \cdot \frac{\beta^{\alpha_2}}{\Gamma \left(\alpha_2\right)} \left(v-uv\right)^{\alpha_2-1}e^{-\beta \left(v-uv\right)} \cdot v\\ &= \left\{\frac{1}{\Gamma \left(\alpha_1\right)\Gamma \left(\alpha_2\right)}u^{\alpha_1-1} \left(1-u\right)^{\alpha_2-1}\right\} \cdot \left\{\beta^{\alpha_1+\alpha_2} \cdot v^{\alpha_1-1} \cdot v^{\alpha_2-1} \cdot v \cdot e^{-\beta v}\right\}\\ &= \left\{\frac{1}{\Gamma \left(\alpha_1\right)\Gamma \left(\alpha_2\right)}u^{\alpha_1-1} \left(1-u\right)^{\alpha_2-1}\right\} \cdot \left\{\beta^{\alpha_1+\alpha_2} \cdot v^{\alpha_1+\alpha_2-1} \cdot e^{-\beta v}\right\} \end{align} 両辺に、$1=\frac{\Gamma \left(\alpha_1+\alpha_2\right)}{\Gamma \left(\alpha_1+\alpha_2\right)}$ をかけると、 \begin{align} k \left(u,v\right)&= \left\{\frac{\Gamma \left(\alpha_1+\alpha_2\right)}{\Gamma \left(\alpha_1\right)\Gamma \left(\alpha_2\right)}u^{\alpha_1-1} \left(1-u\right)^{\alpha_2-1}\right\} \cdot \left\{\frac{\beta^{\alpha_1+\alpha_2}}{\Gamma \left(\alpha_1+\alpha_2\right)}v^{\alpha_1+\alpha_2-1}e^{-\beta v}\right\}\\ &= \left\{\frac{1}{B \left(\alpha_1,\alpha_2\right)}u^{\alpha_1-1} \left(1-u\right)^{\alpha_2-1}\right\} \cdot \left\{\frac{\beta^{\alpha_1+\alpha_2}}{\Gamma \left(\alpha_1+\alpha_2\right)}v^{\alpha_1+\alpha_2-1}e^{-\beta v}\right\} \end{align} ここで、右辺第1項は、ベータ分布 \begin{align} U \sim \mathrm{Be} \left(\alpha_1,\alpha_2\right) \end{align} の確率密度関数であり、 右辺第2項は、ガンマ分布 \begin{align} V \sim Ga \left(\alpha_1+\alpha_2,\beta\right) \end{align} の確率密度関数である。 また、この式は、確率変数の独立性の定義式 $f \left(x,y\right)=g \left(x\right) \cdot h \left(y\right)$ を満たすので、$U,V$ は互いに独立である。 $\blacksquare$

ベータ分布の確率密度関数は、 \begin{align} f \left(x\right)=\frac{1}{B \left(\alpha,\beta\right)}x^{\alpha-1} \left(1-x\right)^{\beta-1} \end{align} 線形変換の公式 $g \left(y\right)=f \left(\frac{y-b}{a}\right) \cdot \frac{1}{ \left|a\right|}$ より、$a=-1,b=1$ とすると、 \begin{align} g \left(y\right)&=f \left\{- \left(y-1\right)\right\} \cdot \frac{1}{ \left|-1\right|}\\ &=f \left(1-y\right)\\ &=\frac{1}{B \left(\alpha,\beta\right)} \left(1-y\right)^{\alpha-1} \left\{1- \left(1-y\right)\right\}^{\beta-1}\\ &=\frac{1}{B \left(\alpha,\beta\right)} \left(1-y\right)^{\alpha-1}y^{\beta-1} \end{align} ベータ関数の性質 $B \left(\alpha,\beta\right)=B \left(\beta,\alpha\right)$ より \begin{align} g \left(y\right)=\frac{1}{B \left(\beta,\alpha\right)}y^{\beta-1} \left(1-y\right)^{\alpha-1} \end{align} これは、ベータ分布の確率密度関数において、 \begin{align} \alpha\rightarrow\beta \quad \beta\rightarrow\alpha \quad x\rightarrow y \end{align} と置き換えたものとみなすことができる。 したがって、確率密度関数の一意性により、確率変数 $Y$ は、ベータ分布 \begin{align} Y \sim \mathrm{Be} \left(\beta,\alpha\right) \end{align} に従う。 $\blacksquare$