互いに独立なガンマ分布の比と和の分布とベータ分布の線形変換

確率変数 $X,Y$ の確率密度関数をそれぞれ $g\left(x\right)\cdot h\left(y\right)$ とすると、定義式より、 $$\begin{array}{c}g\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{{\beta }^{{\alpha }_1}}{\mathrm{\Gamma }\left({\alpha }_1\right)}{x}^{{\alpha }_1-1}{e}^{-\beta x}}& 0\le x\\ 0& x<0\end{array}\\ h\left(y\right)=\{\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{{\beta }^{{\alpha }_2}}{\mathrm{\Gamma }\left({\alpha }_2\right)}{y}^{{\alpha }_2-1}{e}^{-\beta y}}& 0\le y\\ 0& y<0\end{array}\end{array}$$ 確率変数の独立性の定義式 $f(x,y)=g\left(x\right)\cdot h\left(y\right)$ より、同時確率密度関数は、 $$\begin{array}{r}f(x,y)=\frac{{\beta }^{{\alpha }_1}}{\mathrm{\Gamma }\left({\alpha }_1\right)}{x}^{{\alpha }_1-1}{e}^{-\beta x}\cdot \frac{{\beta }^{{\alpha }_2}}{\mathrm{\Gamma }\left({\alpha }_2\right)}{y}^{{\alpha }_2-1}{e}^{-\beta y}\end{array}$$ ここで、以下のように変数変換すると、 $$\begin{array}{r}\{\begin{array}{c}u=\frac{x}{x+y}\\ v=x+y\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=uv\\ y=v-uv\end{array}\end{array}$$ 変数変換のヤコビアンは、 $$\begin{array}{rl}\left|J\right|& =\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial u}\\ \frac{\partial x}{\partial v}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{cc}v& -v\\ u& 1-u\end{array}\right|\\ & =|v(1-u)+uv|\\ & =v\end{array}$$ 変数変換後の同時確率密度関数の公式 $k(u,v)=f\{x(u,v),y(u,v)\}\left|J\right|$ より、 $$\begin{array}{rl}k(u,v)& =f(uv,v-uv)\cdot v\\ & =\frac{{\beta }^{{\alpha }_1}}{\mathrm{\Gamma }\left({\alpha }_1\right)}{\left(uv\right)}^{{\alpha }_1-1}{e}^{-\beta uv}\cdot \frac{{\beta }^{{\alpha }_2}}{\mathrm{\Gamma }\left({\alpha }_2\right)}{(v-uv)}^{{\alpha }_2-1}{e}^{-\beta (v-uv)}\cdot v\\ & =\left\{\frac{1}{\mathrm{\Gamma }\left({\alpha }_1\right)\mathrm{\Gamma }\left({\alpha }_2\right)}{u}^{{\alpha }_1-1}{(1-u)}^{{\alpha }_2-1}\right\}\cdot \{{\beta }^{{\alpha }_1+{\alpha }_2}\cdot v^{{\alpha }_1-1}\cdot v^{{\alpha }_2-1}\cdot v\cdot e^{-\beta v}\}\\ & =\left\{\frac{1}{\mathrm{\Gamma }\left({\alpha }_1\right)\mathrm{\Gamma }\left({\alpha }_2\right)}{u}^{{\alpha }_1-1}{(1-u)}^{{\alpha }_2-1}\right\}\cdot \{{\beta }^{{\alpha }_1+{\alpha }_2}\cdot v^{{\alpha }_1+{\alpha }_2-1}\cdot e^{-\beta v}\}\end{array}$$ 両辺に、$1=\frac{\mathrm{\Gamma }({\alpha }_1+{\alpha }_2)}{\mathrm{\Gamma }({\alpha }_1+{\alpha }_2)}$ をかけると、 $$\begin{array}{rl}k(u,v)& =\left\{\frac{\mathrm{\Gamma }({\alpha }_1+{\alpha }_2)}{\mathrm{\Gamma }\left({\alpha }_1\right)\mathrm{\Gamma }\left({\alpha }_2\right)}{u}^{{\alpha }_1-1}{(1-u)}^{{\alpha }_2-1}\right\}\cdot \left\{\frac{{\beta }^{{\alpha }_1+{\alpha }_2}}{\mathrm{\Gamma }({\alpha }_1+{\alpha }_2)}{v}^{{\alpha }_1+{\alpha }_2-1}{e}^{-\beta v}\right\}\\ & =\left\{\frac{1}{B({\alpha }_1,{\alpha }_2)}{u}^{{\alpha }_1-1}{(1-u)}^{{\alpha }_2-1}\right\}\cdot \left\{\frac{{\beta }^{{\alpha }_1+{\alpha }_2}}{\mathrm{\Gamma }({\alpha }_1+{\alpha }_2)}{v}^{{\alpha }_1+{\alpha }_2-1}{e}^{-\beta v}\right\}\end{array}$$ ここで、右辺第1項は、ベータ分布 $$\begin{array}{r}U\sim \mathrm{Be}({\alpha }_1,{\alpha }_2)\end{array}$$ の確率密度関数であり、 右辺第2項は、ガンマ分布 $$\begin{array}{r}V\sim Ga({\alpha }_1+{\alpha }_2,\beta )\end{array}$$ の確率密度関数である。 また、この式は、確率変数の独立性の定義式 $f(x,y)=g\left(x\right)\cdot h\left(y\right)$ を満たすので、$U,V$ は互いに独立である。 $◼$

ベータ分布の確率密度関数は、 $$\begin{array}{r}f\left(x\right)=\frac{1}{B(\alpha ,\beta )}{x}^{\alpha -1}{(1-x)}^{\beta -1}\end{array}$$ 線形変換の公式 $g\left(y\right)=f\left(\frac{y-b}{a}\right)\cdot \frac{1}{\left|a\right|}$ より、$a=-1,b=1$ とすると、 $$\begin{array}{rl}g\left(y\right)& =f\{-(y-1)\}\cdot \frac{1}{|-1|}\\ & =f(1-y)\\ & =\frac{1}{B(\alpha ,\beta )}{(1-y)}^{\alpha -1}{\{1-(1-y)\}}^{\beta -1}\\ & =\frac{1}{B(\alpha ,\beta )}{(1-y)}^{\alpha -1}{y}^{\beta -1}\end{array}$$ ベータ関数の性質 $B(\alpha ,\beta )=B(\beta ,\alpha )$ より $$\begin{array}{r}g\left(y\right)=\frac{1}{B(\beta ,\alpha )}{y}^{\beta -1}{(1-y)}^{\alpha -1}\end{array}$$ これは、ベータ分布の確率密度関数において、 $$\begin{array}{r}\alpha \to \beta \beta \to \alpha x\to y\end{array}$$ と置き換えたものとみなすことができる。 したがって、確率密度関数の一意性により、確率変数 $Y$ は、ベータ分布 $$\begin{array}{r}Y\sim \mathrm{Be}(\beta ,\alpha )\end{array}$$ に従う。 $◼$