正規分布の母標準偏差の不偏推定量の導出

標本分散を $Y=\frac{n}{{\sigma }^2}{S}^2$ と変数変換すると、正規分布の標本分散の性質より、 $$\begin{array}{r}Y\sim {\chi }^2(n-1)\end{array}$$ 期待値の定義式 $E\left(\sqrt{Y}\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sqrt{y}\cdot f\left(y\right)dy$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(\sqrt{Y}\right)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\sqrt{y}\cdot \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{y}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{y}{2}}dy\\ & =\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{y}^{\frac{n+1}{2}-1}{e}^{-\frac{y}{2}}dy\end{array}$$ ガンマ関数の公式 $\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{{\beta }^{\alpha }}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}dx$ より、$\alpha =\frac{n+1}{2},\beta =\frac{1}{2}$ とすると、 $$\begin{array}{rl}E\left(\sqrt{Y}\right)& =\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n+1}{2}\right)\cdot 2^{\frac{n+1}{2}}\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{2}^{\frac{1}{2}}\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}\sqrt{2}\end{array}$$ ここで、$\sqrt{Y}=\frac{\sqrt{n}}{\sigma }S\iff S=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\sqrt{Y}$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(S\right)& =E\left(\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\sqrt{Y}\right)\\ & =\frac{\sigma }{\sqrt{n}}E\left(\sqrt{Y}\right)\\ & =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{n}}\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}\sigma \end{array}$$ 不偏推定量の定義 $E\left(\hat{\theta }\right)=\theta$ より、調整のための定数を $c$ とすると、 $$\begin{array}{c}E\left(cS\right)=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{n}}\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}c\sigma =\sigma \\ c=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2}}\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n+1}{2}\right)}\end{array}$$ $◼$