本稿では、正規分布の母標準偏差の不偏推定量を導出しています。実用上は標本不偏分散の正の平方根を母集団の標準偏差の推定値として採用することがほとんどですが、本稿で示すように、その値は厳密には不偏推定量にはなりません。
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【命題】正規分布の母標準偏差の不偏推定量
【命題】
正規分布の母標準偏差の不偏推定量
Unbiased Estimator of Standard Deviation of Normal Distribution
母平均が既知の正規分布 $\mathrm{N} \left(\mu,\sigma^2\right)$ からの大きさ $n$ の無作為標本を \begin{align} \boldsymbol{X}= \left\{X_1,X_2, \cdots ,X_n\right\} \end{align} とし、 標本平均と標本分散を \begin{align} \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i \quad S^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \left(X_i-\bar{X}\right)^2 \end{align} とするとき、 母標準偏差の不偏推定量は、 \begin{align} \hat{\sigma}=\frac{\sqrt n}{\sqrt2}\frac{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}S \end{align} で与えられる。
証明
標本分散を $Y=\frac{n}{\sigma^2}S^2$ と変数変換すると、正規分布の標本分散の性質より、 \begin{align} Y \sim \chi^2 \left(n-1\right) \end{align} 期待値の定義式 $E \left(\sqrt Y\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{\sqrt y \cdot f \left(y\right)dy}$ より、 \begin{align} E \left(\sqrt Y\right)&=\int_{0}^{\infty}{\sqrt y \cdot \frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}y^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{y}{2}}dy}\\ &=\frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\int_{0}^{\infty}{y^{\frac{n+1}{2}-1}e^{-\frac{y}{2}}dy} \end{align} ガンマ関数の公式 $\frac{\Gamma \left(\alpha\right)}{\beta^\alpha}=\int_{0}^{\infty}{x^{\alpha-1}e^{-\beta x}dx}$ より、$\alpha=\frac{n+1}{2},\beta=\frac{1}{2}$ とすると、 \begin{align} E \left(\sqrt Y\right)&=\frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)} \cdot \Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right) \cdot 2^\frac{n+1}{2}\\ &=\frac{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}2^\frac{1}{2}\\ &=\frac{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\sqrt2 \end{align} ここで、$\sqrt Y=\frac{\sqrt n}{\sigma}S\Leftrightarrow S=\frac{\sigma}{\sqrt n}\sqrt Y$ より、 \begin{align} E \left(S\right)&=E \left(\frac{\sigma}{\sqrt n}\sqrt Y\right)\\ &=\frac{\sigma}{\sqrt n}E \left(\sqrt Y\right)\\ &=\frac{\sqrt2}{\sqrt n}\frac{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\sigma \end{align} 不偏推定量の定義 $E \left(\hat{\theta}\right)=\theta$ より、調整のための定数を $c$ とすると、 \begin{gather} E \left(cS\right)=\frac{\sqrt2}{\sqrt n}\frac{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}c\sigma=\sigma\\ c=\frac{\sqrt n}{\sqrt2}\frac{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)} \end{gather} $\blacksquare$
参考文献
- 小寺 平治 著. 数理統計：明解演習. 共立出版, 1986, p.119
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