本稿では、数理統計学における区間推定と信頼区間の概念についてまとめています。
なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
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- $Z_\alpha$ は標準正規分布の上側 $100\alpha\%$ 点を表しています。
区間推定
信頼区間
ある母集団からの無作為標本を \begin{gather} \boldsymbol{X}= \left\{X_1,X_2, \cdots ,X_n\right\} \end{gather} とし、 \begin{gather} T_1=T_1 \left(\boldsymbol{X}\right) \quad T_2=T_2 \left(\boldsymbol{X}\right) \end{gather} を次のような統計量とする。 すべての $\theta\in\Theta$ で \begin{gather} P \left(T_1 \le \theta \le T_2\right) \geq 1-\alpha\\ 0 \le \alpha \le 1 \end{gather}
このとき、区間 \begin{gather} \left[T_1,T_2\right] \end{gather} を $\theta$ の $100 \left(1-\alpha\right)\%$ 信頼区間 confidence interval という。 また、 \begin{gather} 1-\alpha \end{gather} を信頼水準 confidence level といい、 \begin{gather} {\mathrm{inf}}_{\theta\in\Theta}{P \left(T_1 \le \theta \le T_2\right)} \end{gather} を信頼係数 confidence coefficient という。
上下信頼限界
すべての $\theta\in\Theta$ で \begin{gather} P \left[T \left(\boldsymbol{X}\right) \le \theta\right] \geq 1-\alpha \end{gather} となる統計量 $T \left(\boldsymbol{X}\right)$ を $100 \left(1-\alpha\right)\%$ 信頼下限 lower confidence bound といい、 \begin{gather} P \left[\theta \le T \left(\boldsymbol{X}\right)\right] \geq 1-\alpha \end{gather} となる統計量 $T \left(\boldsymbol{X}\right)$ を $100 \left(1-\alpha\right)\%$ 信頼上限 upper confidence bound という。
先に定義した両端がある信頼区間を両側信頼区間 two-sided confidence interval、ここで定義した左右どちらかの端点のみがある信頼区間を片側信頼区間 one-sided confidence interval と呼ぶことがある。
信頼領域
一般の \begin{gather} \boldsymbol{\theta}= \left(\theta_1,\theta_2, \cdots ,\theta_k\right) \end{gather} に対し、 ある母集団からの無作為標本を \begin{gather} \boldsymbol{X}= \left\{X_1,X_2, \cdots ,X_n\right\} \end{gather} とし、 $S \left(\boldsymbol{x}\right)$ を $\boldsymbol{R}^k$ の部分集合として、 \begin{gather} P \left[\boldsymbol{\theta}\in S \left(\boldsymbol{X}\right)\right] \geq 1-\alpha\\ \end{gather} となるとき、 $S \left(\boldsymbol{X}\right)$ を $\boldsymbol{\theta}$ の信頼水準 $100 \left(1-\alpha\right)\%$ の信頼領域 confidence region という。
近似信頼区間
$ \left\{T_n\right\}$ を統計量の列とし、 \begin{gather} \frac{T_n-\theta}{\sigma_n^2 \left(\theta\right)}\xrightarrow[]{d}\mathrm{N} \left(0,1\right) \end{gather} とする。 \begin{gather} -Z_{0.5\alpha} \le \frac{T_n-\theta}{\sigma_n^2 \left(\theta\right)} \le Z_{0.5\alpha} \end{gather} が $\theta$ についての不等号に書き直すことができれば、それは $\theta$ についての $100 \left(1-\alpha\right)\%$ 近似信頼区間である。
参考文献
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.234-245
- 竹村 彰通 著. 現代数理統計学. 創文社, 1991, p.195-210
- 久保川 達也 著, 新井 仁之, 小林 俊行, 斎藤 毅, 吉田 朋広 編. 現代数理統計学の基礎. 共立出版, 2017, p.168-173
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