大標本における母比率に関する検定の導出

本稿では、大標本における母比率に関する検定を導出しています。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

データの形式

確率変数 $X$ が二項分布 $$\begin{array}{r}\mathrm{B}(n,p)\end{array}$$ に従い、 標本比率を $$\begin{array}{r}\hat{p}=\frac{X}{n}\end{array}$$ とし、 サンプルサイズが十分に大きく、中心極限定理が成り立つとする。

【定理】大標本における母比率に関する検定

Step.1 尤度比の算出

二項分布の母比率の最尤推定量は、 $$\begin{array}{r}\hat{p}=\frac{X}{n}\end{array}$$ 両仮説の尤度比 $\lambda$ を計算すると（算出過程は省略）、 $$\begin{array}{r}\lambda =\frac{L(p=p_0;x)}{L(p=\hat{p};x)}=\frac{f(x;p=p_0)}{f(x;p=\hat{p})}=\cdots =h\left(\hat{p}\right)\end{array}$$ したがって、検定統計量 $T\left(X\right)=\frac{X}{n}$ が考えられる。

Step.2 検定統計量の対立仮説・帰無仮説における分布

（i）対立仮説における分布
二項分布の標本比率の漸近分布は、 $$\begin{array}{r}\hat{p}\sim \mathrm{N}[p,\frac{p(1-p)}{n}]\end{array}$$ （ii）帰無仮説における分布
帰無仮説 $H_0:p=p_0$ における標本比率の漸近分布は、 $$\begin{array}{r}\hat{p}\sim \mathrm{N}[p_0,\frac{p_0(1-p_0)}{n}]\end{array}$$ 帰無仮説において、標本比率 $\hat{p}$ を標準化した値を $$\begin{array}{r}{Z}_0=\frac{\sqrt{n}(\hat{p}-p_0)}{\sqrt{p_0(1-p_0)}}\end{array}$$ とすると、 標準化変換の性質より、 $$\begin{array}{r}{Z}_0\sim N(0,1)\end{array}$$

Step.3 検定関数と棄却域の型

（I）両側検定
ネイマン・ピアソンの基本定理により、次の棄却域と検定関数 $\phi (\theta ;\mathit{x})$ をもつ検定が漸近的に有意水準を $\alpha$ とする一様最強力不偏検定となる。
$$\begin{array}{}\text{(1)}& \phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}a\le T\left(\mathit{X}\right)\le b& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ T\left(\mathit{X}\right)<a\mathrm{or}b<T\left(\mathit{X}\right)& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ （II）片側検定
ネイマン・ピアソンの基本定理と単調尤度比の原理により、次の棄却域と検定関数 $\phi (\theta ;\mathit{x})$ をもつ検定が漸近的に有意水準を $\alpha$ とする一様最強力検定となる。
検定A $$\begin{array}{}\text{(2)}& \phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}T\left(\mathit{X}\right)<a& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ a\le T\left(\mathit{X}\right)& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ 検定B $$\begin{array}{}\text{(3)}& \phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}b<T\left(\mathit{X}\right)& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ T\left(\mathit{X}\right)\le b& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$

Step.4 棄却域の設定

（I）両側検定
パーセント点の定義と標準正規分布の対称性から、 $$\begin{array}{r}P(-Z_{0.5\alpha }\le Z_0\le Z_{0.5\alpha })=1-\alpha \end{array}$$ したがって、式 $(1)$ において、$a=-Z_{0.5\alpha },b=Z_{0.5\alpha }$ とすると、 $$\begin{array}{c}\phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}-Z_{0.5\alpha }\le Z_0\le Z_{0.5\alpha }& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ Z_0\le -Z_{0.5\alpha }\mathrm{or}{Z}_{0.5\alpha }\le Z_0& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ （II-A）片側検定A
パーセント点の定義より、 $$\begin{array}{r}P(Z_0\le Z_{\alpha })=1-\alpha \end{array}$$ したがって、式 $(2)$ において、$a=Z_{\alpha }$ とすると、 $$\begin{array}{r}\phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}{Z}_0<Z_{\alpha }& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ Z_{\alpha }\le Z_0& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ （II-B）片側検定B
パーセント点の定義より、 $$\begin{array}{r}P(-Z_{\alpha }\le Z_0)=1-\alpha \end{array}$$ したがって、式 $(3)$ において、$b=-Z_{\alpha }$ とすると、 $$\begin{array}{r}\phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}-Z_{\alpha }<Z_0& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ Z_0\le -Z_{\alpha }& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ $◼$

参考文献

• 小寺 平治 著. 数理統計：明解演習. 共立出版, 1986, p.129-130
• 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.278-279

関連記事

• 尤度比検定
• ネイマン・ピアソンの基本定理
• 正規分布の母平均に関する検定（Z検定）
• 正規分布の母平均に関する検定（t検定）
• 正規分布の母平均の差に関する検定（Z検定）
• 正規分布の母平均の差に関する検定（対応のないt検定）
• 正規分布の母平均の差に関する検定（対応のあるt検定）
• 正規分布の母分散に関する検定
• 正規分布の等分散性に関する検定
• 大標本における母平均の差に関する検定
• 大標本における母比率の差に関する検定
• 大標本におけるポアソン分布のパラメータに関する検定
• 指数分布のパラメータに関する検定
• 適合度の検定の検定統計量の従う分布
• 独立性の検定の検定統計量の公式
• 有病率・発生割合に関する検定