コーシー・シュワルツの不等式の証明

任意の定数 $a,b$ に対して $P(a\le X)=1,P(X\le b)=1$ ならば、$a\le E\left(X\right),E\left(X\right)\le b$ なので、
どのような実数 $t$ に対しても、 $$\begin{array}{r}0\le E\left[{(X-tY)}^2\right]\end{array}$$ これを展開すると、 $$\begin{array}{c}0\le E(X^2-2tXY+t^2{Y}^2)\\ 0\le E\left(X^2\right)-2tE\left(XY\right)+t^{2}E\left(Y^2\right)\\ 0\le E\left(Y^2\right){[t-\frac{E\left(XY\right)}{E\left(Y^2\right)}]}^2+[E\left(X^2\right)-\frac{{\left\{E\left(XY\right)\right\}}^2}{E\left(Y^2\right)}]\end{array}$$ この $t$ についての2次関数は、$t=\frac{E\left(XY\right)}{E\left(Y^2\right)}$ のときに最小となり、その値は、 $$\begin{array}{r}0\le E\left(X^2\right)-\frac{{\left\{E\left(XY\right)\right\}}^2}{E\left(Y^2\right)}\end{array}$$ $0<E\left(Y^2\right)$ なので、 $$\begin{array}{c}0\le E\left(X^2\right)E\left(Y^2\right)-{\left\{E\left(XY\right)\right\}}^2\\ {\left\{E\left(XY\right)\right\}}^2\le E\left(X^2\right)E\left(Y^2\right)\end{array}$$ 等号は $E\left[{(X-tY)}^2\right]=0$ のとき、すなわち、 $$\begin{array}{r}P(X=tY)=1\end{array}$$ のときにのみ成り立つ。 $◼$