コーシー・シュワルツの不等式の証明

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【2023年4月2週】 【B000】数理統計学 【B060】標本分布

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本稿では、コーシー・シュワルツの不等式を証明しています。

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【定理】コーシー・シュワルツの不等式

【定理】
コーシー・シュワルツの不等式
Cauchy–Schwarz Inequality

2つの確率変数 $X,Y$ の2次モーメントが存在するとき、2つの積の期待値が存在し、 \begin{align} \left\{E \left(XY\right)\right\}^2 \le E \left(X^2\right)E \left(Y^2\right) \end{align} が成り立つ。 等号は適当な定数 $a,b$ に対して \begin{gather} P \left(aX+bY=0\right)=1 \end{gather} であるときに限り成り立つ。

証明

証明

任意の定数 $a,b$ に対して $P \left(a \le X\right)=1,P \left(X \le b\right)=1$ ならば、$a \le E \left(X\right),E \left(X\right) \le b$ なので、
どのような実数 $t$ に対しても、 \begin{align} 0 \le E \left[ \left(X-tY\right)^2\right] \end{align} これを展開すると、 \begin{gather} 0 \le E \left(X^2-2tXY+t^2Y^2\right)\\ 0 \le E \left(X^2\right)-2tE \left(XY\right)+t^2E \left(Y^2\right)\\ 0 \le E \left(Y^2\right) \left[t-\frac{E \left(XY\right)}{E \left(Y^2\right)}\right]^2+ \left[E \left(X^2\right)-\frac{ \left\{E \left(XY\right)\right\}^2}{E \left(Y^2\right)}\right] \end{gather} この $t$ についての2次関数は、$t=\frac{E \left(XY\right)}{E \left(Y^2\right)}$ のときに最小となり、その値は、 \begin{align} 0 \le E \left(X^2\right)-\frac{ \left\{E \left(XY\right)\right\}^2}{E \left(Y^2\right)} \end{align} $0 \lt E \left(Y^2\right)$ なので、 \begin{gather} 0 \le E \left(X^2\right)E \left(Y^2\right)- \left\{E \left(XY\right)\right\}^2\\ \left\{E \left(XY\right)\right\}^2 \le E \left(X^2\right)E \left(Y^2\right) \end{gather} 等号は $E \left[ \left(X-tY\right)^2\right]=0$ のとき、すなわち、 \begin{align} P \left(X=tY\right)=1 \end{align} のときにのみ成り立つ。 $\blacksquare$

参考文献

  • 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.83-85

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大学時代に読書の面白さに気づいて以来、読書や勉強を通じて、興味をもったことや新しいことを学ぶことが生きる原動力。そんな人間が、その時々に学んだことを備忘録兼人生の軌跡として記録しているブログです。

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