本稿では、コーシー・シュワルツの不等式を証明しています。
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【定理】コーシー・シュワルツの不等式
【定理】
コーシー・シュワルツの不等式
Cauchy–Schwarz Inequality
2つの確率変数 $X,Y$ の2次モーメントが存在するとき、2つの積の期待値が存在し、 \begin{align} \left\{E \left(XY\right)\right\}^2 \le E \left(X^2\right)E \left(Y^2\right) \end{align} が成り立つ。 等号は適当な定数 $a,b$ に対して \begin{gather} P \left(aX+bY=0\right)=1 \end{gather} であるときに限り成り立つ。
証明
任意の定数 $a,b$ に対して $P \left(a \le X\right)=1,P \left(X \le b\right)=1$ ならば、$a \le E \left(X\right),E \left(X\right) \le b$ なので、
どのような実数 $t$ に対しても、
\begin{align}
0 \le E \left[ \left(X-tY\right)^2\right]
\end{align}
これを展開すると、
\begin{gather}
0 \le E \left(X^2-2tXY+t^2Y^2\right)\\
0 \le E \left(X^2\right)-2tE \left(XY\right)+t^2E \left(Y^2\right)\\
0 \le E \left(Y^2\right) \left[t-\frac{E \left(XY\right)}{E \left(Y^2\right)}\right]^2+ \left[E \left(X^2\right)-\frac{ \left\{E \left(XY\right)\right\}^2}{E \left(Y^2\right)}\right]
\end{gather}
この $t$ についての2次関数は、$t=\frac{E \left(XY\right)}{E \left(Y^2\right)}$ のときに最小となり、その値は、
\begin{align}
0 \le E \left(X^2\right)-\frac{ \left\{E \left(XY\right)\right\}^2}{E \left(Y^2\right)}
\end{align}
$0 \lt E \left(Y^2\right)$ なので、
\begin{gather}
0 \le E \left(X^2\right)E \left(Y^2\right)- \left\{E \left(XY\right)\right\}^2\\
\left\{E \left(XY\right)\right\}^2 \le E \left(X^2\right)E \left(Y^2\right)
\end{gather}
等号は $E \left[ \left(X-tY\right)^2\right]=0$ のとき、すなわち、
\begin{align}
P \left(X=tY\right)=1
\end{align}
のときにのみ成り立つ。
$\blacksquare$
参考文献
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.83-85
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