正規分布の標本平均・標本分散とt統計量・F統計量の導出

正規分布の標本平均を標準化した値は、 \begin{align} Z=\frac{\sqrt n \left(\bar{X}-\mu\right)}{\sigma} \sim \mathrm{N} \left(0,1\right) \end{align} 正規分布の標本平均と標本分散の性質より、次の値は標本平均と独立に \begin{align} W=\sum_{i=1}^{n}\frac{ \left(X_i-\bar{X}\right)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2 \left(n-1\right) \end{align} これを、標本不偏分散を用いて表すと、 \begin{align} s^2&=\frac{\sigma^2}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\frac{ \left(X_i-\bar{X}\right)^2}{\sigma^2}\\ &=\frac{\sigma^2}{n-1}W \end{align} これを $\mathrm{t}$ 統計量の定義式に代入すると、 \begin{align} t&=\frac{\sqrt n \left(\bar{X}-\mu\right)}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n-1}W}}\\ &=\frac{\sqrt n \left(\bar{X}-\mu\right)}{\sigma} \cdot \frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt W}\\ &=\frac{Z\sqrt{n-1}}{\sqrt W} \end{align} したがって、$\mathrm{t}$ 分布の定義より、 \begin{align} t \sim \mathrm{t} \left(n-1\right) \end{align} $\blacksquare$

（i）正規分布の標本平均の分布は、 \begin{align} \bar{X} \sim \mathrm{N} \left(\mu_1,\frac{\sigma^2}{n}\right) \quad \bar{Y} \sim \mathrm{N} \left(\mu_2,\frac{\sigma^2}{m}\right) \end{align} 正規分布の再生性より、標本平均の差の分布は、 \begin{align} \bar{X}-\bar{Y} \sim \mathrm{N} \left(\mu_1-\mu_2,\frac{\sigma^2}{n}+\frac{\sigma^2}{m}\right) \end{align} 正規分布の標本平均の差を標準化した値を \begin{align} Z=\frac{ \left(\bar{X}-\bar{Y}\right)- \left(\mu_1-\mu_2\right)}{\sigma\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}} \end{align} とすると、 \begin{align} Z \sim \mathrm{N} \left(0,1\right) \end{align} いっぽう、正規分布の標本平均と標本分散の性質より、次の値はそれぞれの標本平均と独立に \begin{align} W_1=\sum_{i=1}^{n}\frac{ \left(X_i-\bar{X}\right)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2 \left(n-1\right) \quad W_2=\sum_{i=1}^{m}\frac{ \left(Y_i-\bar{Y}\right)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2 \left(m-1\right) \end{align} これらを、標本不偏分散を用いて表すと、 \begin{align} W_1=\frac{ \left(n-1\right)s_X^2}{\sigma^2} \quad W_2=\frac{ \left(m-1\right)s_Y^2}{\sigma^2}\tag{1} \end{align} $\chi^2$ 分布の再生性より、 \begin{gather} W=W_1+W_2=\frac{ \left(n-1\right)s_X^2+ \left(m-1\right)s_Y^2}{\sigma^2}\\ W \sim \chi^2 \left(n+m-2\right) \end{gather} これを $\mathrm{t}$ 統計量の定義式に代入すると、 \begin{align} t&=\frac{ \left(\bar{X}-\bar{Y}\right)- \left(\mu_1-\mu_2\right)}{\sigma\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{ \left(n-1\right)s_X^2+ \left(m-1\right)s_Y^2}{\sigma^2 \left(n+m-2\right)}}}\\ &=\frac{ \left(\bar{X}-\bar{Y}\right)- \left(\mu_1-\mu_2\right)}{\sqrt{\frac{ \left(n-1\right)s_X^2+ \left(m-1\right)s_Y^2}{ \left(n+m-2\right)}}\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}} \cdot \\ &=\frac{Z\sqrt{n+m-2}}{\sqrt W} \end{align} したがって、$\mathrm{t}$ 分布の定義より、 \begin{align} t \sim \mathrm{t} \left(n+m-2\right) \end{align} $\blacksquare$ （ii）また、式 $(1)$ より、 \begin{align} \frac{W_1}{n-1}=\frac{s_X^2}{\sigma^2} \quad \frac{W_2}{m-1}=\frac{s_Y^2}{\sigma^2} \end{align} これを $\mathrm{F}$ 統計量の定義式に代入すると、 \begin{align} F&=\frac{\frac{W_1}{n-1}}{\frac{W_2}{m-1}}\\ &=\frac{\frac{s_X^2}{\sigma^2}}{\frac{s_Y^2}{\sigma^2}}\\ &=\frac{s_X^2}{s_Y^2} \end{align} したがって、$\mathrm{F}$ 分布の定義より、 \begin{gather} F=\frac{s_X^2}{s_Y^2} \sim \mathrm{F} \left(n-1,m-1\right)\\ \end{gather} $\blacksquare$