正規分布の標本平均・標本分散とt統計量・F統計量の導出

正規分布の標本平均を標準化した値は、 $$\begin{array}{r}Z=\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu )}{\sigma }\sim \mathrm{N}(0,1)\end{array}$$ 正規分布の標本平均と標本分散の性質より、次の値は標本平均と独立に $$\begin{array}{r}W=\sum _{i=1}^n\frac{{(X_i-\overline{X})}^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)\end{array}$$ これを、標本不偏分散を用いて表すと、 $$\begin{array}{rl}{s}^2& =\frac{{\sigma }^2}{n-1}\sum _{i=1}^n\frac{{(X_i-\overline{X})}^2}{{\sigma }^2}\\ & =\frac{{\sigma }^2}{n-1}W\end{array}$$ これを $\mathrm{t}$ 統計量の定義式に代入すると、 $$\begin{array}{rl}t& =\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu )}{\sqrt{\frac{{\sigma }^2}{n-1}W}}\\ & =\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu )}{\sigma }\cdot \frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{W}}\\ & =\frac{Z\sqrt{n-1}}{\sqrt{W}}\end{array}$$ したがって、$\mathrm{t}$ 分布の定義より、 $$\begin{array}{r}t\sim \mathrm{t}(n-1)\end{array}$$ $◼$

（i）正規分布の標本平均の分布は、 $$\begin{array}{r}\overline{X}\sim \mathrm{N}({\mu }_1,\frac{{\sigma }^2}{n})\overline{Y}\sim \mathrm{N}({\mu }_2,\frac{{\sigma }^2}{m})\end{array}$$ 正規分布の再生性より、標本平均の差の分布は、 $$\begin{array}{r}\overline{X}-\overline{Y}\sim \mathrm{N}({\mu }_1-{\mu }_2,\frac{{\sigma }^2}{n}+\frac{{\sigma }^2}{m})\end{array}$$ 正規分布の標本平均の差を標準化した値を $$\begin{array}{r}Z=\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{\sigma \sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}}\end{array}$$ とすると、 $$\begin{array}{r}Z\sim \mathrm{N}(0,1)\end{array}$$ いっぽう、正規分布の標本平均と標本分散の性質より、次の値はそれぞれの標本平均と独立に $$\begin{array}{r}{W}_1=\sum _{i=1}^n\frac{{(X_i-\overline{X})}^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)W_2=\sum _{i=1}^m\frac{{(Y_i-\overline{Y})}^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(m-1)\end{array}$$ これらを、標本不偏分散を用いて表すと、 $$\begin{array}{}\text{(1)}& W_1=\frac{(n-1)s_X^2}{{\sigma }^2}{W}_2=\frac{(m-1)s_Y^2}{{\sigma }^2}\end{array}$$ ${\chi }^2$ 分布の再生性より、 $$\begin{array}{c}W=W_1+W_2=\frac{(n-1)s_X^2+(m-1)s_Y^2}{{\sigma }^2}\\ W\sim {\chi }^2(n+m-2)\end{array}$$ これを $\mathrm{t}$ 統計量の定義式に代入すると、 $$\begin{array}{rl}t& =\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{\sigma \sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}}\cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{(n-1)s_X^2+(m-1)s_Y^2}{{\sigma }^2(n+m-2)}}}\\ & =\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{\sqrt{\frac{(n-1)s_X^2+(m-1)s_Y^2}{(n+m-2)}}\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}}\cdot \\ & =\frac{Z\sqrt{n+m-2}}{\sqrt{W}}\end{array}$$ したがって、$\mathrm{t}$ 分布の定義より、 $$\begin{array}{r}t\sim \mathrm{t}(n+m-2)\end{array}$$ $◼$ （ii）また、式 $(1)$ より、 $$\begin{array}{r}\frac{W_1}{n-1}=\frac{s_X^2}{{\sigma }^2}\frac{W_2}{m-1}=\frac{s_Y^2}{{\sigma }^2}\end{array}$$ これを $\mathrm{F}$ 統計量の定義式に代入すると、 $$\begin{array}{rl}F& =\frac{\frac{W_1}{n-1}}{\frac{W_2}{m-1}}\\ & =\frac{\frac{s_X^2}{{\sigma }^2}}{\frac{s_Y^2}{{\sigma }^2}}\\ & =\frac{s_X^2}{s_Y^2}\end{array}$$ したがって、$\mathrm{F}$ 分布の定義より、 $$\begin{array}{c}F=\frac{s_X^2}{s_Y^2}\sim \mathrm{F}(n-1,m-1)\end{array}$$ $◼$