二変量正規分布のモーメント母関数の導出

モーメント母関数の定義式 $M_{X,Y} \left(\boldsymbol{\theta}\right)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{\boldsymbol{\theta x}} \cdot f \left(x,y\right)dxdy}$ より、 \begin{align} M_{X,Y} \left(\boldsymbol{\theta}\right)&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{\theta_1x+\theta_2y} \cdot \frac{1}{2\pi\sigma_X\sigma_Y\sqrt{1-\rho^2}}\mathrm{exp} \left\{-\frac{1}{2 \left(1-\rho^2\right)}Q \left(x,y\right)\right\}dxdy}\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{2\pi\sigma_X\sigma_Y\sqrt{1-\rho^2}}\mathrm{exp} \left\{\theta_1x+\theta_2y-\frac{1}{2 \left(1-\rho^2\right)}Q \left(x,y\right)\right\}dxdy} \end{align} ここで、以下のように変数変換すると、 \begin{gather} \left\{\begin{matrix}u=\frac{x-\mu_X}{\sigma_X}\\v=\frac{y-\mu_Y}{\sigma_Y}\\\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=u\sigma_X+\mu_X\\y=v\sigma_Y+\mu_Y\\\end{matrix}\right.\\ \begin{matrix}x:-\infty\rightarrow\infty\\y:-\infty\rightarrow\infty\\\end{matrix} \quad \Rightarrow \quad \begin{matrix}u:-\infty\rightarrow\infty\\v:-\infty\rightarrow\infty\\\end{matrix}\\ \left|J\right|=\sigma_X\sigma_Y\\ \end{gather} また、指数部分を完全平方にすると、 \begin{gather} \theta_1x+\theta_2y-\frac{1}{2 \left(1-\rho^2\right)}Q \left(x,y\right)=\theta_1\mu_X+\theta_2\mu_Y-\frac{1}{2 \left(1-\rho^2\right)}R \left(u,v\right)\\ R \left(u,v\right)= \left\{u-\rho v- \left(1-\rho^2\right)\theta_1\sigma_X\right\}^2+ \left(1-\rho^2\right) \left(v-\rho\theta_1\sigma_X-\theta_2\sigma_Y\right)^2- \left(1-\rho^2\right) \left(\theta_1^2\sigma_X^2+2\rho\theta_1\theta_2\sigma_X\sigma_Y+\theta_2^2\sigma_Y^2\right) \end{gather} したがって、置換積分法により、 \begin{align} M_{X,Y} \left(\boldsymbol{\theta}\right)&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{2\pi\sigma_X\sigma_Y\sqrt{1-\rho^2}}\mathrm{exp} \left\{\theta_1\mu_X+\theta_2\mu_Y-\frac{1}{2 \left(1-\rho^2\right)}R \left(u,v\right)\right\} \cdot \sigma_X\sigma_Ydudv}\\ &=\exp \left\{\theta_1\mu_X+\theta_2\mu_Y\right\} \cdot \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\mathrm{exp} \left\{-\frac{1}{2 \left(1-\rho^2\right)}R \left(u,v\right)\right\}dudv}\\ \end{align} ここで、以下のように変数変換すると、 \begin{gather} \left\{\begin{matrix}w=\frac{u-\rho v- \left(1-\rho^2\right)\theta_1\sigma_X}{\sqrt{1-\rho^2}}\\z=v-\rho\theta_1\sigma_X-\theta_2\sigma_Y\\\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}u=\sqrt{1-\rho^2}w+\rho v+ \left(1-\rho^2\right)\theta_1\sigma_X\\v=z+\rho\theta_1\sigma_X+\theta_2\sigma_Y\\\end{matrix}\right.\\ \begin{matrix}u:-\infty\rightarrow\infty\\v:-\infty\rightarrow\infty\\\end{matrix} \quad \Rightarrow \quad \begin{matrix}w:-\infty\rightarrow\infty\\z:-\infty\rightarrow\infty\\\end{matrix}\\ \end{gather} 変数変換のヤコビアンは、 \begin{align} \left|J\right|&= \left|\begin{matrix}\frac{\partial u}{\partial w}&\frac{\partial v}{\partial w}\\\frac{\partial u}{\partial z}&\frac{\partial v}{\partial z}\\\end{matrix}\right|\\ &= \left|\begin{matrix}\sqrt{1-\rho^2}&0\\0&1\\\end{matrix}\right|\\ &=\sqrt{1-\rho^2} \end{align} したがって、置換積分法により、 \begin{align} M_{X,Y} \left(\boldsymbol{\theta}\right)&=\mathrm{exp} \left\{\theta_1\mu_X+\theta_2\mu_Y+\frac{1}{2} \left(\theta_1^2\sigma_X^2+2\rho\theta_1\theta_2\sigma_X\sigma_Y+\theta_2^2\sigma_Y^2\right)\right\} \cdot \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\mathrm{exp} \left(-\frac{w^2}{2}-\frac{z^2}{2}\right)\sqrt{1-\rho^2}dwdz}\\ &=\mathrm{exp} \left\{\theta_1\mu_X+\theta_2\mu_Y+\frac{1}{2} \left(\theta_1^2\sigma_X^2+2\rho\theta_1\theta_2\sigma_X\sigma_Y+\theta_2^2\sigma_Y^2\right)\right\} \cdot \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{2\pi}\mathrm{exp} \left(-\frac{w^2}{2}-\frac{z^2}{2}\right)dwdz}\\ &=\mathrm{exp} \left\{\theta_1\mu_X+\theta_2\mu_Y+\frac{1}{2} \left(\theta_1^2\sigma_X^2+2\rho\theta_1\theta_2\sigma_X\sigma_Y+\theta_2^2\sigma_Y^2\right)\right\} \cdot \int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{exp} \left(-\frac{w^2}{2}\right)dw} \cdot \int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{exp} \left(-\frac{z^2}{2}\right)dz}\\ &=\mathrm{exp} \left\{\theta_1\mu_X+\theta_2\mu_Y+\frac{1}{2} \left(\theta_1^2\sigma_X^2+2\rho\theta_1\theta_2\sigma_X\sigma_Y+\theta_2^2\sigma_Y^2\right)\right\} \end{align} $\blacksquare$