レーマン・シェフェの定理の証明-あるノマドの知の旅路～数学・統計学への道

レーマン・シェフェの定理の証明

公開日： 2023/04/20

本稿では、レーマン・シェフェの定理を証明しています。

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目次[非表示]

1.【定理】レーマン・シェフェの定理
- 1.1.証明
2.参考文献
3.関連記事

【定理】レーマン・シェフェの定理

【定理】
レーマン・シェフェの定理
Lehmann-Scheffe Theorem

$S (X)$ をパラメータ $θ$ の完備十分統計量、 $T = T (X)$ を $θ$ の不偏推定量とするとき、完備十分統計量 $S (X)$ によって条件づけた不偏推定量 $T (X)$ の期待値 $\begin{array}{r} T^{*} (S) = E {T (X) | S (X)} \end{array}$ はただ1つに定まり、一様最小分散不偏推定量となる。

証明

ラオ・ブラックウェルの定理より、 $T^{*} (S)$ は $θ$ の不偏推定量であり、他の任意の不偏推定量 $T$ よりも小さい分散をもつ。

ここで、 $U = U (X)$ を他の $θ$ の不偏推定量とし、 $\begin{array}{r} T^{* *} (S) = E {U (X) | S (X)} \end{array}$ とすると、 $T^{* *} (S)$ もまた $θ$ の不偏推定量であり、 $U$ よりも小さい分散をもつが、 $\begin{array}{r} E [T^{*} (S) - T^{* *} (S)] = E [T^{*} (S)] - E [T^{* *} (S)] = θ - θ = 0 \end{array}$ ここで、 $S$ は完備十分統計量 $P [T^{*} (S) - T^{* *} (S) = 0] = 1$ なので、完備十分統計量の関数となっている不偏推定量はただ1つであり、その分散は不偏推定量の中で最小である。 $◼$

参考文献

野田一雄, 宮岡悦良著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.215-216
Lehmann, E.L. & Scheffé, H.. Completeness, Similar Regions, and Unbiased Estimation: Part I. Sankhyā: The Indian Journal of Statistics. 1950, 10(4), p.305-340, https://www.jstor.org/stable/25048038
Lehmann, E.L. & Scheffé, H.. Completeness, Similar Regions, and Unbiased Estimation: Part II. Sankhyā: The Indian Journal of Statistics. 1955, 15(3), p.219-236.

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