レーマン・シェフェの定理の証明

ラオ・ブラックウェルの定理より、$T^\ast \left(S\right)$ は $\theta$ の不偏推定量であり、他の任意の不偏推定量 $T$ よりも小さい分散をもつ。

ここで、$U=U \left(\boldsymbol{X}\right)$ を他の $\theta$ の不偏推定量とし、 \begin{align} T^{\ast\ast} \left(S\right)=E \left\{\ U \left(\boldsymbol{X}\right)\ \middle|\ S \left(\boldsymbol{X}\right)\ \right\} \end{align} とすると、 $T^{\ast\ast} \left(S\right)$ もまた $\theta$ の不偏推定量であり、$U$ よりも小さい分散をもつが、 \begin{align} E \left[T^\ast \left(S\right)-T^{\ast\ast} \left(S\right)\right]=E \left[T^\ast \left(S\right)\right]-E \left[T^{\ast\ast} \left(S\right)\right]=\theta-\theta=0 \end{align} ここで、$S$ は完備十分統計量 $P \left[T^\ast \left(S\right)-T^{\ast\ast} \left(S\right)=0\right]=1$ なので、完備十分統計量の関数となっている不偏推定量はただ1つであり、その分散は不偏推定量の中で最小である。 $\blacksquare$