リアプノフの不等式の証明

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【2023年4月2週】 【B000】数理統計学 【B060】標本分布

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本稿では、リアプノフの不等式を証明しています。

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【定理】リアプノフの不等式

【定理】
リアプノフの不等式
Lyapunov Inequality

確率変数 $X$ について、任意の正の実数 $s,t$ が $0 \lt s \lt t$ を満たすとき、 \begin{align} \left\{E \left[ \left|X\right|^s\right]\right\}^\frac{1}{s} \le \left\{E \left[ \left|X\right|^t\right]\right\}^\frac{1}{t} \end{align} が成り立つ。

証明

証明

ヘルダーの不等式 $E \left[ \left|XY\right|\right] \le \left\{E \left[ \left|X\right|^p\right]\right\}^\frac{1}{p} \left\{E \left[ \left|Y\right|^q\right]\right\}^\frac{1}{q}$ において、$Y=1,X=X^s$ とすると、 \begin{align} E \left[ \left|X^s\right|\right]& \le \left\{E \left[ \left|X^s\right|^p\right]\right\}^\frac{1}{p}\\ & \le \left\{E \left[ \left|X\right|^{sp}\right]\right\}^\frac{1}{p} \end{align} ここで、$t=sp$ とすると、$1 \lt p$ より、 \begin{align} 0 \lt s \lt t \end{align} となり、 $p$ が任意の実数であることから、$t$ も \begin{align} 0 \lt s \lt t \end{align} を満たすすべての実数を取り得る。 $\frac{1}{p}=\frac{s}{t}$ なので、 \begin{align} E \left[ \left|X\right|^s\right] \le \left\{E \left[ \left|X\right|^t\right]\right\}^\frac{s}{t} \end{align} 両辺を $\frac{1}{s}$ 乗すると、 \begin{align} \left\{E \left[ \left|X\right|^s\right]\right\}^\frac{1}{s} \le \left\{E \left[ \left|X\right|^t\right]\right\}^\frac{1}{t} \end{align} $\blacksquare$

参考文献

  • 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.98-99 章末問題 2.B.4

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大学時代に読書の面白さに気づいて以来、読書や勉強を通じて、興味をもったことや新しいことを学ぶことが生きる原動力。そんな人間が、その時々に学んだことを備忘録兼人生の軌跡として記録しているブログです。

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