本稿では、リアプノフの不等式を証明しています。
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【定理】リアプノフの不等式
【定理】
リアプノフの不等式
Lyapunov Inequality
確率変数 $X$ について、任意の正の実数 $s,t$ が $0 \lt s \lt t$ を満たすとき、 \begin{align} \left\{E \left[ \left|X\right|^s\right]\right\}^\frac{1}{s} \le \left\{E \left[ \left|X\right|^t\right]\right\}^\frac{1}{t} \end{align} が成り立つ。
証明
ヘルダーの不等式 $E \left[ \left|XY\right|\right] \le \left\{E \left[ \left|X\right|^p\right]\right\}^\frac{1}{p} \left\{E \left[ \left|Y\right|^q\right]\right\}^\frac{1}{q}$ において、$Y=1,X=X^s$ とすると、 \begin{align} E \left[ \left|X^s\right|\right]& \le \left\{E \left[ \left|X^s\right|^p\right]\right\}^\frac{1}{p}\\ & \le \left\{E \left[ \left|X\right|^{sp}\right]\right\}^\frac{1}{p} \end{align} ここで、$t=sp$ とすると、$1 \lt p$ より、 \begin{align} 0 \lt s \lt t \end{align} となり、 $p$ が任意の実数であることから、$t$ も \begin{align} 0 \lt s \lt t \end{align} を満たすすべての実数を取り得る。 $\frac{1}{p}=\frac{s}{t}$ なので、 \begin{align} E \left[ \left|X\right|^s\right] \le \left\{E \left[ \left|X\right|^t\right]\right\}^\frac{s}{t} \end{align} 両辺を $\frac{1}{s}$ 乗すると、 \begin{align} \left\{E \left[ \left|X\right|^s\right]\right\}^\frac{1}{s} \le \left\{E \left[ \left|X\right|^t\right]\right\}^\frac{1}{t} \end{align} $\blacksquare$
参考文献
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.98-99 章末問題 2.B.4
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