リアプノフの不等式の証明

ヘルダーの不等式 $E\left[\left|XY\right|\right]\le {\left\{E\left[{\left|X\right|}^p\right]\right\}}^{\frac{1}{p}}{\left\{E\left[{\left|Y\right|}^q\right]\right\}}^{\frac{1}{q}}$ において、$Y=1,X=X^s$ とすると、 $$\begin{array}{rl}E\left[\left|X^s\right|\right]& \le {\left\{E\left[{\left|X^s\right|}^p\right]\right\}}^{\frac{1}{p}}\\ & \le {\left\{E\left[{\left|X\right|}^{sp}\right]\right\}}^{\frac{1}{p}}\end{array}$$ ここで、$t=sp$ とすると、$1<p$ より、 $$\begin{array}{r}0<s<t\end{array}$$ となり、 $p$ が任意の実数であることから、$t$ も $$\begin{array}{r}0<s<t\end{array}$$ を満たすすべての実数を取り得る。 $\frac{1}{p}=\frac{s}{t}$ なので、 $$\begin{array}{r}E\left[{\left|X\right|}^s\right]\le {\left\{E\left[{\left|X\right|}^t\right]\right\}}^{\frac{s}{t}}\end{array}$$ 両辺を $\frac{1}{s}$ 乗すると、 $$\begin{array}{r}{\left\{E\left[{\left|X\right|}^s\right]\right\}}^{\frac{1}{s}}\le {\left\{E\left[{\left|X\right|}^t\right]\right\}}^{\frac{1}{t}}\end{array}$$ $◼$