カイ2乗分布とガンマ分布・指数分布の関係

それぞれの分布の確率密度関数は、
指数分布 $$\begin{array}{}\text{(1)}& f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}\lambda e^{-\lambda x}& 0\le x\\ 0& x<0\end{array}\end{array}$$ ガンマ分布 $$\begin{array}{}\text{(2)}& g\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}& 0\le x\\ 0& x<0\end{array}\end{array}$$ ${\chi }^2$分布 $$\begin{array}{}\text{(3)}& h\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{x}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}}& 0\le x\\ 0& x<0\end{array}\end{array}$$

（I）ガンマ分布の確率密度関数に $\alpha =\frac{n}{2},\beta =\frac{1}{2}$ を代入すると、 $$\begin{array}{r}g\left(x\right)=\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{n}{2}}}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{x}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}}=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{x}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}}=h\left(x\right)\end{array}$$ $◼$

（II）ガンマ分布の確率密度関数に $\alpha =1,\beta =\frac{1}{2}$ を代入すると、 $$\begin{array}{}\text{(4)}& g\left(x\right)=\frac{\frac{1}{2}}{\mathrm{\Gamma }\left(1\right)}{x}^{1-1}{e}^{-\frac{1}{2}x}=\frac{1}{2}{e}^{-\frac{1}{2}x}\end{array}$$ 指数分布の確率密度関数に $\lambda =\frac{1}{2}$ を代入すると、 $$\begin{array}{}\text{(5)}& f\left(x\right)=\frac{1}{2}{e}^{-\frac{1}{2}x}\end{array}$$ ${\chi }^2$分布の確率密度関数に $n=2$ を代入すると、 $$\begin{array}{}\text{(6)}& h\left(x\right)=\frac{1}{2^{\frac{2}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{2}{2}\right)}{x}^{\frac{2}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}}=\frac{1}{2}{e}^{-\frac{1}{2}x}\end{array}$$ 式 $(4),(5),(6)$ より、 $$\begin{array}{r}f\left(x\right)=g\left(x\right)=h\left(x\right)\end{array}$$ $◼$

（III）累積分布関数の定義式 $G\left(x\right)=P(X\le x)={\int }_0^{x}g\left(t\right)dt$ より、ガンマ分布累積分布関数は、 $$\begin{array}{r}G\left(w\right)=P(W\le w)={\int }_0^w\frac{{\beta }^{\frac{n}{2}}}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{a}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\beta a}da\end{array}$$ ここで、以下のように変数変換すると、 $$\begin{array}{c}\beta a=\frac{t}{2}\iff a=\frac{t}{2\beta }\\ a:0\to w\Rightarrow t:0\to 2\beta w\\ \frac{da}{dt}=\frac{1}{2\beta }\Rightarrow da=\frac{1}{2\beta }dt\end{array}$$ となるので、 置換積分法により、 $$\begin{array}{rl}G\left(w\right)& ={\int }_0^{2\beta w}\frac{{\beta }^{\frac{n}{2}}}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\left(\frac{t}{2\beta }\right)}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{t}{2}}\cdot \frac{1}{2\beta }dt\\ & ={\int }_0^{2\beta w}[{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{n}{2}-1}\cdot \frac{1}{2}]\left[\frac{1}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{t}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{t}{2}}\right][{\beta }^{\frac{n}{2}}\cdot {\left(\frac{1}{\beta }\right)}^{\frac{n}{2}-1}\cdot \frac{1}{\beta }]dt\\ & ={\int }_0^{2\beta w}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{t}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{t}{2}}dt\\ & =H\left(2\beta w\right)\end{array}$$ $◼$