カイ2乗分布とガンマ分布・指数分布の関係

それぞれの分布の確率密度関数は、
指数分布 \begin{align} f \left(x\right)= \left\{\begin{matrix}\lambda e^{-\lambda x}&0 \le x\\0&x \lt 0\\\end{matrix}\right.\tag{1} \end{align} ガンマ分布 \begin{align} g \left(x\right)= \left\{\begin{matrix}\frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}&0 \le x\\0&x \lt 0\\\end{matrix}\right.\tag{2} \end{align} $\chi^2$分布 \begin{align} h \left(x\right)= \left\{\begin{matrix}\frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}&0 \le x\\0&x \lt 0\\\end{matrix}\right.\tag{3} \end{align}

（I）ガンマ分布の確率密度関数に $\alpha=\frac{n}{2},\beta=\frac{1}{2}$ を代入すると、 \begin{align} g \left(x\right)=\frac{ \left(\frac{1}{2}\right)^\frac{n}{2}}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}=\frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}=h \left(x\right) \end{align} $\blacksquare$

（II）ガンマ分布の確率密度関数に $\alpha=1,\beta=\frac{1}{2}$ を代入すると、 \begin{align} g \left(x\right)=\frac{\frac{1}{2}}{\Gamma \left(1\right)}x^{1-1}e^{-\frac{1}{2}x}=\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}x}\tag{4} \end{align} 指数分布の確率密度関数に $\lambda=\frac{1}{2}$ を代入すると、 \begin{align} f \left(x\right)=\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}x}\tag{5} \end{align} $\chi^2$分布の確率密度関数に $n=2$ を代入すると、 \begin{align} h \left(x\right)=\frac{1}{2^\frac{2}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{2}{2}\right)}x^{\frac{2}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}=\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}x}\tag{6} \end{align} 式 $(4),(5),(6)$ より、 \begin{align} f \left(x\right)=g \left(x\right)=h \left(x\right) \end{align} $\blacksquare$

（III）累積分布関数の定義式 $G \left(x\right)=P \left(X \le x\right)=\int_{0}^{x}g \left(t\right)dt$ より、ガンマ分布累積分布関数は、 \begin{align} G \left(w\right)=P \left(W \le w\right)=\int_{0}^{w}{\frac{\beta^\frac{n}{2}}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}a^{\frac{n}{2}-1}e^{-\beta a}}da \end{align} ここで、以下のように変数変換すると、 \begin{gather} \beta a=\frac{t}{2}\Leftrightarrow a=\frac{t}{2\beta}\\ a:0\rightarrow w \quad \Rightarrow \quad t:0\rightarrow2\beta w\\ \frac{da}{dt}=\frac{1}{2\beta}\Rightarrow da=\frac{1}{2\beta}dt \end{gather} となるので、 置換積分法により、 \begin{align} G \left(w\right)&=\int_{0}^{2\beta w}{\frac{\beta^\frac{n}{2}}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)} \left(\frac{t}{2\beta}\right)^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{t}{2}}} \cdot \frac{1}{2\beta}dt\\ &=\int_{0}^{2\beta w} \left[ \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{n}{2}-1} \cdot \frac{1}{2}\right] \left[\frac{1}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}t^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{t}{2}}\right] \left[\beta^\frac{n}{2} \cdot \left(\frac{1}{\beta}\right)^{\frac{n}{2}-1} \cdot \frac{1}{\beta}\right]dt\\ &=\int_{0}^{2\beta w}{\frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}t^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{t}{2}}}dt\\ &=H \left(2\beta w\right) \end{align} $\blacksquare$