大数の法則と中心極限定理

確率変数の列 $$\begin{array}{r}{\mathit{X}}_n=\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}\end{array}$$ に関して、 $\left\{X_n\right\}$ がある定数 $c$ に平均二乗収束する ならば、 $\left\{X_n\right\}$ は $c$ に確率収束する。

確率変数の列 $$\begin{array}{r}{\mathit{X}}_n=\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}\end{array}$$ に関して、 $c\ne 0$ を満たす任意の実数 $c$ について、関数 $f(\cdot )$ が $c$ において連続ならば、 $$\begin{array}{r}{X}_n\stackrel{p}{\to }c\Rightarrow f\left(X_n\right)\stackrel{p}{\to }f\left(c\right)\end{array}$$ が成り立つ。

平均と分散がそれぞれ $\mu$ と ${\sigma }^2$ である任意の母集団分布 $\mathrm{P}(\mu ,{\sigma }^2)$ からの大きさ $n$ の無作為標本 $$\begin{array}{r}\mathit{X}=\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}\end{array}$$ について 標本平均を $$\begin{array}{r}{\overline{X}}_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\end{array}$$ とすると、 $n$ が十分に大きければ（$n\to \mathrm{\infty }$）、標本平均は真の平均に確率収束する すなわち、任意の正の数 $0<\epsilon$ に対して、 $$\begin{array}{r}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}P(|{\overline{X}}_n-\mu |\ge \epsilon )=0\end{array}$$ が成り立つ。

確率変数の列 $$\begin{array}{r}{\mathit{X}}_n=\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}\end{array}$$ について、 $X_n$ と確率変数 $X$ のモーメント母関数 $$\begin{array}{r}{M}_{X_n}\left(\theta \right)M_X\left(\theta \right)\end{array}$$ が区間 $(-h,h)$ で共に存在するとき、 確率変数の列 $\left\{X_n\right\}$ が確率変数 $X$ に分布収束する必要十分条件は、 すべての $\theta \in (-h,h)$ において、$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{M}_{X_n}\left(\theta \right)=M_X\left(\theta \right)$ である。

確率変数の列 $$\begin{array}{r}{\mathit{X}}_{\mathit{n}}=\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}\end{array}$$ について、 （i）$\left\{X_n\right\}$ が確率変数 $X$ に確率収束するとき、$\left\{X_n\right\}$ は $X$ に分布収束する $$\begin{array}{r}{X}_n\stackrel{p}{\to }X\Rightarrow X_n\stackrel{d}{\to }X\end{array}$$ （ii）$\left\{X_n\right\}$ が定数 $a$ に分布収束するとき、$\left\{X_n\right\}$ は $a$ に確率収束する $$\begin{array}{r}{X}_n\stackrel{d}{\to }a\Rightarrow X_n\stackrel{p}{\to }a\end{array}$$

確率変数の列 $$\begin{array}{r}{\mathit{X}}_n=\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}\end{array}$$ に関して、 関数 $g(\cdot )$ が連続な関数ならば、 $$\begin{array}{r}{X}_n\stackrel{d}{\to }X\Rightarrow g\left(X_n\right)\stackrel{d}{\to }g\left(X\right)\end{array}$$ が成り立つ。

2つの確率変数 $X,Y$ の列 $$\begin{array}{r}{\mathit{X}}_{\mathit{n}}=\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}{\mathit{Y}}_{\mathit{n}}=\{Y_1,Y_2,\cdots ,Y_n\}\end{array}$$ について、 $\left\{X_n\right\}$ が定数 $a\ne 0$ に確率収束し、$\left\{Y_n\right\}$ が定数 $b$ に確率収束する、すなわち、 $$\begin{array}{r}{X}_n\stackrel{p}{\to }a{Y}_n\stackrel{p}{\to }b\end{array}$$ のとき、 （i） $$\begin{array}{r}{X}_n+Y_n\stackrel{p}{\to }a+bc\end{array}$$ （ii） $$\begin{array}{r}{X}_n{Y}_n\stackrel{p}{\to }ab\end{array}$$ （iii） $$\begin{array}{r}\frac{1}{X_n}\stackrel{p}{\to }\frac{1}{a}\end{array}$$ が成り立つ。

2つの確率変数 $X,Y$ の列 $$\begin{array}{r}{\mathit{X}}_{\mathit{n}}=\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}{\mathit{Y}}_{\mathit{n}}=\{Y_1,Y_2,\cdots ,Y_n\}\end{array}$$ と $c\ne 0$ を満たす任意の実数 $c$ について、 $\left\{X_n\right\}$ が確率変数 $X$ に分布収束し、$\left\{Y_n\right\}$ が $c$ に確率収束する、すなわち、 $$\begin{array}{r}{X}_n\stackrel{d}{\to }X{Y}_n\stackrel{p}{\to }c\end{array}$$ のとき、 （i）和の漸近分布 $$\begin{array}{r}{X}_n+Y_n\stackrel{d}{\to }X+c\end{array}$$ （ii）積の漸近分布 $$\begin{array}{r}{X}_n{Y}_n\stackrel{d}{\to }cX\end{array}$$ （iii）比の漸近分布 $$\begin{array}{r}\frac{X_n}{Y_n}\stackrel{d}{\to }\frac{X}{c}\end{array}$$ が成り立つ。

平均と分散がそれぞれ $\mu$ と ${\sigma }^2$ である任意の母集団分布 $\mathrm{P}(\mu ,{\sigma }^2)$ からの大きさ $n$ の無作為標本 $$\begin{array}{r}\mathit{X}=\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}\end{array}$$ について、 標本平均を標準化した値を $$\begin{array}{r}Z=\frac{\sqrt{n}({\overline{X}}_n-\mu )}{\sigma }\end{array}$$ とすると、 確率変数 $X_i(i=1,2,\cdots ,n)$ のモーメント母関数が存在し、3回微分可能
かつ
それが連続である ならば、 標本平均を標準化した値は、標準正規分布 $\mathrm{N}(0,1)$ に分布収束する、すなわち、 $$\begin{array}{r}Z\stackrel{d}{\to }N(0,1)\end{array}$$ が成り立つ。