大標本における母比率の差の信頼区間の導出

二項分布の期待値と分散は、 \begin{gather} E \left(X\right)=n_1p_1 \quad V \left(X\right)=n_1p_1 \left(1-p_1\right)\\ E \left(Y\right)=n_2p_2 \quad V \left(Y\right)=n_2p_2 \left(1-p_2\right) \end{gather} 二項分布の正規近似（中心極限定理）により、 \begin{align} X \sim \mathrm{N} \left\{n_1p_1,n_1p_1 \left(1-p_1\right)\right\} \quad Y \sim \mathrm{N} \left\{n_2p_2,n_2p_2 \left(1-p_2\right)\right\} \end{align} 線形変換の性質より、標本比率 ${\hat{p}}_1,{\hat{p}}_2$ について、 \begin{align} {\hat{p}}_1 \sim \mathrm{N} \left[p_1,\frac{p_1 \left(1-p_1\right)}{n_1}\right] \quad {\hat{p}}_2 \sim \mathrm{N} \left[p_2,\frac{p_2 \left(1-p_2\right)}{n_2}\right] \end{align} 標本比率の差を $\hat{p}={\hat{p}}_1-{\hat{p}}_2$ とすると、正規分布の再生性より、 \begin{align} \hat{p} \sim \mathrm{N} \left[p_1-p_2,\frac{p_1 \left(1-p_1\right)}{n_1}+\frac{p_2 \left(1-p_2\right)}{n_2}\right] \end{align} 母比率の差を $p=p_1-p_2$、標本比率の差 $\hat{p}$ を標準化した値を \begin{gather} Z=\frac{\hat{p}-p}{\sigma}\\ \sigma^2=\frac{p_1 \left(1-p_1\right)}{n_1}+\frac{p_2 \left(1-p_2\right)}{n_2} \end{gather} とすると、 標準化変換の性質より、 \begin{align} Z \sim N \left(0,1\right) \end{align} 標準正規分布の上側 $100\alpha\%$ 点を $Z_\alpha$ とするとき、標準正規分布の対称性から、 \begin{align} P \left(-Z_{0.5\alpha} \le Z \le Z_{0.5\alpha}\right)=1-\alpha \end{align} したがって、母平均の $100 \left(1-\alpha\right)\%$ 信頼区間は、 \begin{gather} -Z_{0.5\alpha} \le \frac{\hat{p}-p}{\sigma} \le Z_{0.5\alpha}\\ \left({\hat{p}}_1-{\hat{p}}_2\right)-\sigma \cdot Z_{0.5\alpha} \le p_1-p_2 \le \left({\hat{p}}_1-{\hat{p}}_2\right)+\sigma \cdot Z_{0.5\alpha} \end{gather} ここで、母比率が標本比率で近似できる $p_1\cong{\hat{p}}_1,p_2\cong{\hat{p}}_2$ とき、 \begin{align} \left({\hat{p}}_1-{\hat{p}}_2\right)-\hat{\sigma} \cdot Z_{0.5\alpha} \le p_1-p_2 \le \left({\hat{p}}_1-{\hat{p}}_2\right)+\hat{\sigma} \cdot Z_{0.5\alpha}\\ {\hat{\sigma}}^2=\frac{{\hat{p}}_1 \left(1-{\hat{p}}_1\right)}{n_1}+\frac{{\hat{p}}_2 \left(1-{\hat{p}}_2\right)}{n_2} \end{align} $\blacksquare$