大標本における母比率の差の信頼区間の導出

二項分布の期待値と分散は、 $$\begin{array}{c}E\left(X\right)=n_1{p}_{1}V\left(X\right)=n_1{p}_1(1-p_1)\\ E\left(Y\right)=n_2{p}_{2}V\left(Y\right)=n_2{p}_2(1-p_2)\end{array}$$ 二項分布の正規近似（中心極限定理）により、 $$\begin{array}{r}X\sim \mathrm{N}\{n_1{p}_1,n_1{p}_1(1-p_1)\}Y\sim \mathrm{N}\{n_2{p}_2,n_2{p}_2(1-p_2)\}\end{array}$$ 線形変換の性質より、標本比率 ${\hat{p}}_1,{\hat{p}}_2$ について、 $$\begin{array}{r}{\hat{p}}_1\sim \mathrm{N}[p_1,\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}]{\hat{p}}_2\sim \mathrm{N}[p_2,\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}]\end{array}$$ 標本比率の差を $\hat{p}={\hat{p}}_1-{\hat{p}}_2$ とすると、正規分布の再生性より、 $$\begin{array}{r}\hat{p}\sim \mathrm{N}[p_1-p_2,\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}]\end{array}$$ 母比率の差を $p=p_1-p_2$、標本比率の差 $\hat{p}$ を標準化した値を $$\begin{array}{c}Z=\frac{\hat{p}-p}{\sigma }\\ {\sigma }^2=\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}\end{array}$$ とすると、 標準化変換の性質より、 $$\begin{array}{r}Z\sim N(0,1)\end{array}$$ 標準正規分布の上側 $100\alpha \mathrm{\%}$ 点を $Z_{\alpha }$ とするとき、標準正規分布の対称性から、 $$\begin{array}{r}P(-Z_{0.5\alpha }\le Z\le Z_{0.5\alpha })=1-\alpha \end{array}$$ したがって、母平均の $100(1-\alpha )\mathrm{\%}$ 信頼区間は、 $$\begin{array}{c}-Z_{0.5\alpha }\le \frac{\hat{p}-p}{\sigma }\le Z_{0.5\alpha }\\ ({\hat{p}}_1-{\hat{p}}_2)-\sigma \cdot Z_{0.5\alpha }\le p_1-p_2\le ({\hat{p}}_1-{\hat{p}}_2)+\sigma \cdot Z_{0.5\alpha }\end{array}$$ ここで、母比率が標本比率で近似できる $p_1\cong {\hat{p}}_1,p_2\cong {\hat{p}}_2$ とき、 $$\begin{array}{r}({\hat{p}}_1-{\hat{p}}_2)-\hat{\sigma }\cdot Z_{0.5\alpha }\le p_1-p_2\le ({\hat{p}}_1-{\hat{p}}_2)+\hat{\sigma }\cdot Z_{0.5\alpha }\\ {\hat{\sigma }}^2=\frac{{\hat{p}}_1(1-{\hat{p}}_1)}{n_1}+\frac{{\hat{p}}_2(1-{\hat{p}}_2)}{n_2}\end{array}$$ $◼$