分布関数の対数和

$\mathit{X}=\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}$ が互いに独立であるとき、関数の独立性より、$X_i$ の関数である分布関数 $$\begin{array}{r}\mathit{F}=\{F_1\left(X_1\right),F_2\left(X_2\right),\cdots ,F_n\left(X_n\right)\}\end{array}$$ も互いに独立である。 確率変数 $Z$ のモーメント母関数を $$\begin{array}{r}{M}_Z\left(\theta \right)\end{array}$$ とすると、 モーメント母関数の定義式 $M_Z\left(\theta \right)=E\left(e^{\theta z}\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}{M}_Z\left(\theta \right)& =E\left[\exp (\theta \cdot \sum _{i=1}^n-2\log F_i\left(X_i\right))\right]\\ & =E\left[\exp (\sum _{i=1}^n\log {\left\{F_i\left(X_i\right)\right\}}^{-2\theta })\right]\\ & =E[e^{\log {\left\{F_1\left(X_1\right)\right\}}^{-2\theta }}\cdot e^{\log {\left\{F_2\left(X_2\right)\right\}}^{-2\theta }}\cdot \cdots \cdot e^{\log {\left\{F_n\left(X_n\right)\right\}}^{-2\theta }}]\\ & =E[{\left\{F_1\left(X_1\right)\right\}}^{-2\theta }\cdot {\left\{F_2\left(X_2\right)\right\}}^{-2\theta }\cdots {\left\{F_n\left(X_n\right)\right\}}^{-2\theta }]\end{array}$$ 期待値の性質 $E\left[\prod _{i=1}^{n}g\left(X_i\right)\right]=\prod _{i=1}^{n}E\left[g\left(X_i\right)\right]$ より、 $$\begin{array}{r}{M}_Z\left(\theta \right)=E\left[{\left\{F_1\left(X_1\right)\right\}}^{-2\theta }\right]\cdot E\left[{\left\{F_2\left(X_2\right)\right\}}^{-2\theta }\right]\cdots E\left[{\left\{F_n\left(X_n\right)\right\}}^{-2\theta }\right]\end{array}$$ 累積分布関数の性質より、 $$\begin{array}{r}0\le F_i\left(X_i\right)\le 1\end{array}$$ 期待値の定義式 $E\left\{g\left(X\right)\right\}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g\left(x\right)\cdot dF\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left[{\left\{F_i\left(X_i\right)\right\}}^{-2\theta }\right]& ={\int }_0^1{\left\{F_i\left(X_i\right)\right\}}^{-2\theta }\cdot d{F}_i\left(x\right)\\ & ={\left[\frac{1}{1-2\theta }{\left\{F_i\left(X_i\right)\right\}}^{1-2\theta }\right]}_0^1\\ & =\frac{1}{1-2\theta }\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}{M}_Z\left(\theta \right)={\left(\frac{1}{1-2\theta }\right)}^n\end{array}$$ これは、${\chi }^2$分布のモーメント母関数 $$\begin{array}{r}{M}_X\left(\theta \right)={\left(\frac{1}{1-2\theta }\right)}^{\frac{n}{2}}\end{array}$$ において、 $$\begin{array}{r}n\to 2nX\to Z\end{array}$$ と置き換えたものとみなすことができる。 したがって、モーメント母関数の一意性により、確率変数 $Z$ は、${\mathit{\chi }}^{\mathbf{2}}$分布 $$\begin{array}{r}Z\sim {\chi }^2\left(2n\right)\end{array}$$ に従う。 $◼$