分布関数の対数和

$\boldsymbol{X}= \left\{X_1,X_2, \cdots ,X_n\right\}$ が互いに独立であるとき、関数の独立性より、$X_i$ の関数である分布関数 \begin{align} \boldsymbol{F}= \left\{F_1 \left(X_1\right),F_2 \left(X_2\right), \cdots ,F_n \left(X_n\right)\right\} \end{align} も互いに独立である。 確率変数 $Z$ のモーメント母関数を \begin{align} M_Z \left(\theta\right) \end{align} とすると、 モーメント母関数の定義式 $M_Z \left(\theta\right)=E \left(e^{\theta z}\right)$ より、 \begin{align} M_Z \left(\theta\right)&=E \left[\mathrm{exp} \left(\theta \cdot \sum_{i=1}^{n}{-2\log{F_i \left(X_i\right)}}\right)\right]\\ &=E \left[\mathrm{exp} \left(\sum_{i=1}^{n}\log{ \left\{F_i \left(X_i\right)\right\}^{-2\theta}}\right)\right]\\ &=E \left[e^{\log{ \left\{F_1 \left(X_1\right)\right\}^{-2\theta}}} \cdot e^{\log{ \left\{F_2 \left(X_2\right)\right\}^{-2\theta}}} \cdot \cdots \cdot e^{\log{ \left\{F_n \left(X_n\right)\right\}^{-2\theta}}}\right]\\ &=E \left[ \left\{F_1 \left(X_1\right)\right\}^{-2\theta} \cdot \left\{F_2 \left(X_2\right)\right\}^{-2\theta} \cdots \left\{F_n \left(X_n\right)\right\}^{-2\theta}\right] \end{align} 期待値の性質 $E \left[\prod_{i=1}^{n}g \left(X_i\right)\right]=\prod_{i=1}^{n}E \left[g \left(X_i\right)\right]$ より、 \begin{align} M_Z \left(\theta\right)=E \left[ \left\{F_1 \left(X_1\right)\right\}^{-2\theta}\right] \cdot E \left[ \left\{F_2 \left(X_2\right)\right\}^{-2\theta}\right] \cdots E \left[ \left\{F_n \left(X_n\right)\right\}^{-2\theta}\right] \end{align} 累積分布関数の性質より、 \begin{align} 0 \le F_i \left(X_i\right) \le 1 \end{align} 期待値の定義式 $E \left\{g \left(X\right)\right\}=\int_{-\infty}^{\infty}{g \left(x\right) \cdot d F \left(x\right)}$ より、 \begin{align} E \left[ \left\{F_i \left(X_i\right)\right\}^{-2\theta}\right]&=\int_{0}^{1}{ \left\{F_i \left(X_i\right)\right\}^{-2\theta} \cdot d F_i \left(x\right)}\\ &= \left[\frac{1}{1-2\theta} \left\{F_i \left(X_i\right)\right\}^{1-2\theta}\right]_0^1\\ &=\frac{1}{1-2\theta} \end{align} したがって、 \begin{align} M_Z \left(\theta\right)= \left(\frac{1}{1-2\theta}\right)^n \end{align} これは、$\chi^2$分布のモーメント母関数 \begin{align} M_X \left(\theta\right)= \left(\frac{1}{1-2\theta}\right)^\frac{n}{2} \end{align} において、 \begin{align} n\rightarrow2n \quad X\rightarrow Z \end{align} と置き換えたものとみなすことができる。 したがって、モーメント母関数の一意性により、確率変数 $Z$ は、$\boldsymbol{\chi}^\boldsymbol{2}$分布 \begin{align} Z \sim \chi^2 \left(2n\right) \end{align} に従う。 $\blacksquare$