正規分布の母分散に関する検定の導出

本稿では、正規分布の母分散に関する検定を証明・導出しています。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

データの形式

確率変数 $X$ が正規分布 $$\begin{array}{r}X\sim \mathrm{N}(\mu ,{\sigma }^2)\end{array}$$ に従い、 この分布からの大きさ $n$ の無作為標本を $$\begin{array}{r}\mathit{X}=\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}\end{array}$$ 標本平均を $$\begin{array}{c}\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\end{array}$$ とする。 なお、母平均が既知の場合は、 $$\begin{array}{r}\mu ={\mu }_0\end{array}$$ とする。

【定理】正規分布の母分散に関する検定（母平均が既知の場合）

Step.1 検定統計量の対立仮説・帰無仮説における分布

（i）対立仮説における分布
標本値を標準化した値は、 $$\begin{array}{c}{Z}_i=\frac{X_i-{\mu }_0}{\sigma }\end{array}$$ 標本値を標準化した値の分布は、 $$\begin{array}{r}{Z}_i\sim \mathrm{N}(0,1)\end{array}$$ ${\chi }^2$分布の定義より、 $$\begin{array}{r}{Z}_i^2={\left(\frac{X_i-{\mu }_0}{\sigma }\right)}^2\sim {\chi }^2\left(1\right)\end{array}$$ ${\chi }^2$分布の再生性より、 $$\begin{array}{r}{\chi }^2=\sum _{i=1}^n{\left(\frac{X_i-{\mu }_0}{\sigma }\right)}^2\sim {\chi }^2\left(n\right)\end{array}$$ （ii）帰無仮説における分布
帰無仮説 $H_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2$ における標準化した値の平方和の分布は、 $$\begin{array}{r}{\chi }_0^2=\sum _{i=1}^n{\left(\frac{X_i-{\mu }_0}{{\sigma }_0}\right)}^2\sim {\chi }^2\left(n\right)\end{array}$$

Step.2 検定関数と棄却域の型

（I）両側検定
ネイマン・ピアソンの基本定理により、次の棄却域と検定関数 $\phi (\theta ;\mathit{x})$ をもつ検定が漸近的に有意水準を $\alpha$ とする一様最強力不偏検定となる。
$$\begin{array}{}\text{(1)}& \phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}a\le T\left(\mathit{X}\right)\le b& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ T\left(\mathit{X}\right)<a\mathrm{or}b<T\left(\mathit{X}\right)& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ （II）片側検定
ネイマン・ピアソンの基本定理と単調尤度比の原理により、次の棄却域と検定関数 $\phi (\theta ;\mathit{x})$ をもつ検定が漸近的に有意水準を $\alpha$ とする一様最強力検定となる。
検定A $$\begin{array}{}\text{(2)}& \phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}T\left(\mathit{X}\right)<a& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ a\le T\left(\mathit{X}\right)& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ 検定B $$\begin{array}{}\text{(3)}& \phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}b<T\left(\mathit{X}\right)& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ T\left(\mathit{X}\right)\le b& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$

Step.3 棄却域の設定

（I）両側検定
パーセント点の定義より、 $$\begin{array}{r}P[{\chi }_{1-0.5\alpha }^2\left(n\right)\le {\chi }_0^2\le {\chi }_{0.5\alpha }^2\left(n\right)]=1-\alpha \end{array}$$ したがって、式 $(1)$ において、$a={\chi }_{1-0.5\alpha }^2\left(n\right),b={\chi }_{0.5\alpha }^2\left(n\right)$ とすると、 $$\begin{array}{c}\phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}{\chi }_{1-0.5\alpha }^2\left(n\right)\le {\chi }_0^2\le {\chi }_{0.5\alpha }^2\left(n\right)& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ {\chi }_0^2\le {\chi }_{1-0.5\alpha }^2\left(n\right)\mathrm{or}{\chi }_{0.5\alpha }^2\left(n\right)\le {\chi }_0^2& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ （II-A）片側検定A
パーセント点の定義より、 $$\begin{array}{r}P[{\chi }_0^2\le {\chi }_{\alpha }^2\left(n\right)]=1-\alpha \end{array}$$ したがって、式 $(2)$ において、$a={\chi }_{\alpha }^2\left(n\right)$ とすると、 $$\begin{array}{r}\phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}{\chi }_0^2<{\chi }_{\alpha }^2\left(n\right)& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ {\chi }_{\alpha }^2\left(n\right)\le {\chi }_0^2& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ （II-B）片側検定B
パーセント点の定義より、 $$\begin{array}{r}P[{\chi }_0^2\le {\chi }_{1-\alpha }^2\left(n\right)]=1-\alpha \end{array}$$ したがって、式 $(3)$ において、$b={\chi }_{1-\alpha }^2\left(n\right)$ とすると、 $$\begin{array}{r}\phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}{\chi }_{1-\alpha }^2\left(n\right)<{\chi }_0^2& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ {\chi }_0^2\le {\chi }_{1-\alpha }^2\left(n\right)& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ $◼$

【定理】正規分布の母分散に関する検定（母平均が未知の場合）

Step.1 検定統計量の対立仮説・帰無仮説における分布

（i）対立仮説における分布
標本平均を用いて標本値を標準化した値の平方和の分布は、 $$\begin{array}{r}{\chi }^2=\sum _{i=1}^n{\left(\frac{X_i-\overline{X}}{\sigma }\right)}^2\sim {\chi }^2(n-1)\end{array}$$ （ii）帰無仮説における分布
帰無仮説 $H_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2$ における分布は、 $$\begin{array}{r}{\chi }_0^2=\sum _{i=1}^n{\left(\frac{X_i-\overline{X}}{{\sigma }_0}\right)}^2\sim {\chi }^2(n-1)\end{array}$$

ここから先は、母平均が既知の場合と同様の流れであるため、省略する。

参考文献

• 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.274-275

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