本稿では、正規分布の母分散に関する検定を証明・導出しています。
なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
- スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
- $\chi_\alpha^2 \left(n\right)$ は自由度 $n$ の $\chi^2$分布の上側 $100\alpha\%$ 点を表しています。
データの形式
確率変数 $X$ が正規分布 \begin{align} X \sim \mathrm{N} \left(\mu,\sigma^2\right) \end{align} に従い、 この分布からの大きさ $n$ の無作為標本を \begin{align} \boldsymbol{X}= \left\{X_1,X_2, \cdots ,X_n\right\} \end{align} 標本平均を \begin{gather} \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i \end{gather} とする。 なお、母平均が既知の場合は、 \begin{align} \mu=\mu_0 \end{align} とする。
【定理】正規分布の母分散に関する検定（母平均が既知の場合）
【定理】
正規分布の母分散に関する検定（母平均が既知の場合）
Chi-Square test for the Population Variance of Normal Distributions with Known Mean
母平均が既知の正規分布の母分散 $\mu$ に関する検定問題
（I）両側検定
\begin{align}
H_0:\sigma^2=\sigma_0^2 \quad H_1:\sigma^2 \neq \sigma_0^2
\end{align}
（II-A）片側検定A
\begin{align}
H_0:\sigma^2 \le \sigma_0^2 \quad H_1:\sigma^2 \gt \sigma_0^2
\end{align}
（II-B）片側検定B
\begin{align}
H_0:\sigma^2 \geq \sigma_0^2 \quad H_1:\sigma^2 \lt \sigma_0^2
\end{align}
を考える場合、
検定統計量を
\begin{align}
\chi_0^2=\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{X_i-\mu_0}{\sigma_0}\right)^2
\end{align}
として、
（I）両側検定
以下の棄却域と検定関数 $\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)$ をもつ検定は有意水準を $\alpha$ とする一様最強力不偏検定となる。
\begin{gather}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}\chi_{1-0.5\alpha}^2 \left(n\right) \le \chi_0^2 \le \chi_{0.5\alpha}^2 \left(n\right)&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\\chi_0^2 \le \chi_{1-0.5\alpha}^2 \left(n\right) \quad \mathrm{or} \quad \chi_{0.5\alpha}^2 \left(n\right) \le \chi_0^2&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.\\
\end{gather}
（II）片側検定
以下の棄却域と検定関数 $\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)$ をもつ検定は有意水準を $\alpha$ とする一様最強力検定となる。
（II-A）片側検定A
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}\chi_0^2 \lt \chi_\alpha^2 \left(n\right)&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\\chi_\alpha^2 \left(n\right) \le \chi_0^2&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.
\end{align}
（II-B）片側検定B
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}\chi_{1-\alpha}^2 \left(n\right) \lt \chi_0^2&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\\chi_0^2 \le \chi_{1-\alpha}^2 \left(n\right)&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.
\end{align}
Step.1 検定統計量の対立仮説・帰無仮説における分布
（i）対立仮説における分布
標本値を標準化した値は、
\begin{gather}
Z_i=\frac{X_i-\mu_0}{\sigma}
\end{gather}
標本値を標準化した値の分布は、
\begin{align}
Z_i \sim \mathrm{N} \left(0,1\right)
\end{align}
$\chi^2$分布の定義より、
\begin{align}
Z_i^2= \left(\frac{X_i-\mu_0}{\sigma}\right)^2 \sim \chi^2 \left(1\right)
\end{align}
$\chi^2$分布の再生性より、
\begin{align}
\chi^2=\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{X_i-\mu_0}{\sigma}\right)^2 \sim \chi^2 \left(n\right)
\end{align}
（ii）帰無仮説における分布
帰無仮説 $H_0:\sigma^2=\sigma_0^2$ における標準化した値の平方和の分布は、
\begin{align}
\chi_0^2=\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{X_i-\mu_0}{\sigma_0}\right)^2 \sim \chi^2 \left(n\right)
\end{align}
Step.2 検定関数と棄却域の型
（I）両側検定
ネイマン・ピアソンの基本定理により、次の棄却域と検定関数 $\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)$ をもつ検定が漸近的に有意水準を $\alpha$ とする一様最強力不偏検定となる。
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}a \le T \left(\boldsymbol{X}\right) \le b&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\T \left(\boldsymbol{X}\right) \lt a \quad \mathrm{or} \quad b \lt T \left(\boldsymbol{X}\right)&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.\tag{1}
\end{align}
（II）片側検定
ネイマン・ピアソンの基本定理と単調尤度比の原理により、次の棄却域と検定関数 $\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)$ をもつ検定が漸近的に有意水準を $\alpha$ とする一様最強力検定となる。
検定A
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}T \left(\boldsymbol{X}\right) \lt a&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\a \le T \left(\boldsymbol{X}\right)&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.\tag{2}
\end{align}
検定B
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}b \lt T \left(\boldsymbol{X}\right)&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\T \left(\boldsymbol{X}\right) \le b&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.\tag{3}
\end{align}
Step.3 棄却域の設定
（I）両側検定
パーセント点の定義より、
\begin{align}
P \left[\chi_{1-0.5\alpha}^2 \left(n\right) \le \chi_0^2 \le \chi_{0.5\alpha}^2 \left(n\right)\right]=1-\alpha
\end{align}
したがって、式 $(1)$ において、$a=\chi_{1-0.5\alpha}^2 \left(n\right),b=\chi_{0.5\alpha}^2 \left(n\right)$ とすると、
\begin{gather}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}\chi_{1-0.5\alpha}^2 \left(n\right) \le \chi_0^2 \le \chi_{0.5\alpha}^2 \left(n\right)&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\\chi_0^2 \le \chi_{1-0.5\alpha}^2 \left(n\right) \quad \mathrm{or} \quad \chi_{0.5\alpha}^2 \left(n\right) \le \chi_0^2&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.\\
\end{gather}
（II-A）片側検定A
パーセント点の定義より、
\begin{align}
P \left[\chi_0^2 \le \chi_\alpha^2 \left(n\right)\right]=1-\alpha
\end{align}
したがって、式 $(2)$ において、$a=\chi_\alpha^2 \left(n\right)$ とすると、
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}\chi_0^2 \lt \chi_\alpha^2 \left(n\right)&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\\chi_\alpha^2 \left(n\right) \le \chi_0^2&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.
\end{align}
（II-B）片側検定B
パーセント点の定義より、
\begin{align}
P \left[\chi_0^2 \le \chi_{1-\alpha}^2 \left(n\right)\right]=1-\alpha
\end{align}
したがって、式 $(3)$ において、$b=\chi_{1-\alpha}^2 \left(n\right)$ とすると、
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}\chi_{1-\alpha}^2 \left(n\right) \lt \chi_0^2&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\\chi_0^2 \le \chi_{1-\alpha}^2 \left(n\right)&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.
\end{align}
$\blacksquare$
【定理】正規分布の母分散に関する検定（母平均が未知の場合）
【定理】
正規分布の母分散に関する検定（母平均が未知の場合）
Chi-Square test for the Population Variance of Normal Distributions with Unknown Mean
母平均が未知の正規分布の母分散 $\mu$ に関する検定問題
（I）両側検定
\begin{align}
H_0:\sigma^2=\sigma_0^2 \quad H_1:\sigma^2 \neq \sigma_0^2
\end{align}
（II-A）片側検定A
\begin{align}
H_0:\sigma^2 \le \sigma_0^2 \quad H_1:\sigma^2 \gt \sigma_0^2
\end{align}
（II-B）片側検定B
\begin{align}
H_0:\sigma^2 \geq \sigma_0^2 \quad H_1:\sigma^2 \lt \sigma_0^2
\end{align}
を考える場合、
検定統計量を
\begin{align}
\chi_0^2=\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{X_i-\bar{X}}{\sigma_0}\right)^2
\end{align}
として、
（I）両側検定
以下の棄却域と検定関数 $\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)$ をもつ検定は有意水準を $\alpha$ とする一様最強力不偏検定となる。
\begin{gather}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}\chi_{1-0.5\alpha}^2 \left(n-1\right) \le \chi_0^2 \le \chi_{0.5\alpha}^2 \left(n-1\right)&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\\chi_0^2 \le \chi_{1-0.5\alpha}^2 \left(n-1\right) \quad \mathrm{or} \quad \chi_{0.5\alpha}^2 \left(n-1\right) \le \chi_0^2&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.\\
\end{gather}
（II）片側検定
以下の棄却域と検定関数 $\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)$ をもつ検定は有意水準を $\alpha$ とする一様最強力検定となる。
（II-A）片側検定A
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}\chi_0^2 \lt \chi_\alpha^2 \left(n-1\right)&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\\chi_\alpha^2 \left(n-1\right) \le \chi_0^2&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.
\end{align}
（II-B）片側検定B
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}\chi_{1-\alpha}^2 \left(n-1\right) \lt \chi_0^2&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\\chi_0^2 \le \chi_{1-\alpha}^2 \left(n-1\right)&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.
\end{align}
Step.1 検定統計量の対立仮説・帰無仮説における分布
（i）対立仮説における分布
標本平均を用いて標本値を標準化した値の平方和の分布は、
\begin{align}
\chi^2=\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{X_i-\bar{X}}{\sigma}\right)^2 \sim \chi^2 \left(n-1\right)
\end{align}
（ii）帰無仮説における分布
帰無仮説 $H_0:\sigma^2=\sigma_0^2$ における分布は、
\begin{align}
\chi_0^2=\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{X_i-\bar{X}}{\sigma_0}\right)^2 \sim \chi^2 \left(n-1\right)
\end{align}
ここから先は、母平均が既知の場合と同様の流れであるため、省略する。
参考文献
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.274-275
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