正規分布の母平均の差の信頼区間の導出

（I）母分散が既知の場合
正規分布の標本平均は、 $$\begin{array}{r}\overline{X}\sim N({\mu }_X,\frac{{\sigma }_X^2}{n})\overline{Y}\sim N({\mu }_Y,\frac{{\sigma }_Y^2}{m})\end{array}$$ 標本平均の差を $\overline{d}=\overline{X}-\overline{Y}$ とすると、正規分布の再生性により、 $$\begin{array}{r}\overline{d}\sim N({\mu }_X-{\mu }_Y,\frac{{\sigma }_X^2}{n}+\frac{{\sigma }_Y^2}{m})\end{array}$$ 母平均の差を $d={\mu }_X-{\mu }_Y$、標本平均の差 $\overline{d}$ を標準化した値を $$\begin{array}{c}Z=\frac{\overline{d}-d}{\varphi }\\ {\varphi }^2=\frac{{\sigma }_X^2}{n}+\frac{{\sigma }_Y^2}{m}\end{array}$$ とすると、 標準化変換の性質より、 $$\begin{array}{r}Z\sim N(0,1)\end{array}$$ 標準正規分布の対称性から、 $$\begin{array}{r}P(-Z_{0.5\alpha }\le Z\le Z_{0.5\alpha })=1-\alpha \end{array}$$ したがって、母平均の $100(1-\alpha )\mathrm{\%}$ 信頼区間は、 $$\begin{array}{c}-Z_{0.5\alpha }\le \frac{\overline{d}-d}{\varphi }\le Z_{0.5\alpha }\\ (\overline{X}-\overline{Y})-\varphi \cdot Z_{0.5\alpha }\le {\mu }_X-{\mu }_Y\le (\overline{X}-\overline{Y})+\varphi \cdot Z_{0.5\alpha }\end{array}$$ $◼$

（II）母分散が未知の場合
正規分布の再生性などにより、 $$\begin{array}{r}\overline{X}\sim N({\mu }_X,\frac{{\sigma }^2}{n})\overline{Y}\sim N({\mu }_Y,\frac{{\sigma }^2}{m})\end{array}$$ 標本平均の差を $\overline{d}=\overline{X}-\overline{Y}$ とすると、正規分布の再生性により、 $$\begin{array}{r}\overline{d}\sim N({\mu }_X-{\mu }_Y,\frac{{\sigma }^2}{n}+\frac{{\sigma }^2}{m})\end{array}$$ 共通の母分散を標本統合不偏分散で推定すると、 $$\begin{array}{r}{s}^2=\frac{(n-1)s_X^2+(m-1)s_Y^2}{n+m-2}\end{array}$$ 母平均の差を $d={\mu }_X-{\mu }_Y$、標本平均の差 $\overline{d}$ を統合分散で標準化した値を $$\begin{array}{c}t=\frac{\overline{d}-d}{\phi }\\ {\phi }^2=\frac{s^2}{n}+\frac{s^2}{m}\end{array}$$ とすると、 $$\begin{array}{r}t\sim \mathrm{t}(m+n-2)\end{array}$$ $\mathrm{t}$分布の対称性から、 $$\begin{array}{r}P\{-t_{0.5\alpha }(n-1)\le t\le t_{0.5\alpha }(n-1)\}=1-\alpha \end{array}$$ したがって、母平均の $100(1-\alpha )\mathrm{\%}$ 信頼区間は、 $$\begin{array}{c}-t_{0.5\alpha }(m+n-2)\le \frac{(\overline{X}-\overline{Y})-({\mu }_X-{\mu }_Y)}{\phi }\le t_{0.5\alpha }(m+n-2)\\ (\overline{X}-\overline{Y})-\phi \cdot t_{0.5\alpha }(m+n-2)\le {\mu }_X-{\mu }_Y\le (\overline{X}-\overline{Y})+\phi \cdot t_{0.5\alpha }(n-1)\end{array}$$ $◼$