正規分布の等分散性に関する検定の導出

本稿では、正規分布の等分散性に関する検定を導出しています。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

データの形式

確率変数 $X,Y$ が正規分布 $$\begin{array}{r}\mathrm{N}({\mu }_X,{\sigma }_X^2)\mathrm{N}({\mu }_Y,{\sigma }_Y^2)\end{array}$$ に従い、 この分布からの大きさ $n,m$ の無作為標本を $$\begin{array}{r}\mathit{X}=\{X_1,X_2,\cdots X_n\}\mathit{Y}=\{Y_1,Y_2,\cdots Y_m\}\end{array}$$ それぞれの標本平均を $$\begin{array}{c}\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\overline{Y}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^n{Y}_i\end{array}$$ とする。

【定理】正規分布の等分散性に関する検定

Step.1 検定統計量の対立仮説・帰無仮説における分布

（i）対立仮説における分布
標本平均を用いて標本値を標準化した値の平方和の分布は、 $$\begin{array}{c}{\chi }_X^2=\frac{\sum _{i=1}^n{(X_i-\overline{X})}^2}{{\sigma }_X^2}\sim {\chi }^2(n-1)\\ {\chi }_Y^2=\frac{\sum _{i=1}^m{(Y_i-\overline{Y})}^2}{{\sigma }_Y^2}\sim {\chi }^2(m-1)\end{array}$$ $\mathrm{F}$分布の定義より、 $$\begin{array}{c}\frac{\frac{{\chi }_X^2}{n-1}}{\frac{{\chi }_Y^2}{m-1}}=F\sim F(n-1,m-1)\end{array}$$ （ii）帰無仮説における分布
帰無仮説 $H_0:{\sigma }_X^2={\sigma }_Y^2$ における分布は、 $$\begin{array}{rl}{F}_0& =\frac{\frac{1}{n-1}\cdot \frac{\sum _{i=1}^n{(X_i-\overline{X})}^2}{{\sigma }_X^2}}{\frac{1}{m-1}\cdot \frac{\sum _{i=1}^m{(Y_i-\overline{Y})}^2}{{\sigma }_Y^2}}\\ & =\frac{\frac{\sum _{i=1}^n{(X_i-\overline{X})}^2}{n-1}}{\frac{\sum _{i=1}^m{(Y_i-\overline{Y})}^2}{m-1}}\end{array}$$ $$\begin{array}{c}{F}_0\sim F(n-1,m-1)\end{array}$$

Step.2 検定関数と棄却域の型

（I）両側検定
ネイマン・ピアソンの基本定理により、次の棄却域と検定関数 $\phi (\theta ;\mathit{x})$ をもつ検定が有意水準を $\alpha$ とする一様最強力不偏検定となる。
$$\begin{array}{}\text{(1)}& \phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}a\le T\left(\mathit{X}\right)\le b& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ T\left(\mathit{X}\right)<a\mathrm{or}b<T\left(\mathit{X}\right)& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ （II）片側検定
ネイマン・ピアソンの基本定理と単調尤度比の原理により、次の棄却域と検定関数 $\phi (\theta ;\mathit{x})$ をもつ検定が有意水準を $\alpha$ とする一様最強力検定となる。
検定A $$\begin{array}{}\text{(2)}& \phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}T\left(\mathit{X}\right)<a& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ a\le T\left(\mathit{X}\right)& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ 検定B $$\begin{array}{}\text{(3)}& \phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}b<T\left(\mathit{X}\right)& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ T\left(\mathit{X}\right)\le b& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$

Step.3 棄却域の設定

（I）両側検定
パーセント点の定義より、 $$\begin{array}{r}P[F_{1-0.5\alpha }(n-1,m-1)\le F_0\le F_{0.5\alpha }(n-1,m-1)]=1-\alpha \end{array}$$ したがって、式 $(1)$ において、$a=F_{1-0.5\alpha }(n-1,m-1),b=F_{0.5\alpha }(n-1,m-1)$ とすると、 $$\begin{array}{c}\phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}{F}_{1-0.5\alpha }(n-1,m-1)\le F_0\le F_{0.5\alpha }(n-1,m-1)& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ F_0\le F_{1-0.5\alpha }(n-1,m-1)\mathrm{or}{F}_{0.5\alpha }(n-1,m-1)\le F_0& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ （II-A）片側検定A
パーセント点の定義より、 $$\begin{array}{r}P[F_0\le F_{0.5\alpha }(n-1,m-1)]=1-\alpha \end{array}$$ したがって、式 $(2)$ において、$a=F_{0.5\alpha }(n-1,m-1)$ とすると、 $$\begin{array}{r}\phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}{F}_0<F_{\alpha }(n-1,m-1)& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ F_{\alpha }(n-1,m-1)\le F_0& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ （II-B）片側検定B
パーセント点の定義より、 $$\begin{array}{r}P[F_0\le F_{1-\alpha }(n-1,m-1)]=1-\alpha \end{array}$$ したがって、式 $(3)$ において、$b=F_{1-\alpha }(n-1,m-1)$ とすると、 $$\begin{array}{r}\phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}{F}_{1-\alpha }(n-1,m-1)<F_0& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ F_0\le F_{1-\alpha }(n-1,m-1)& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ $◼$

参考文献

• 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.277-278

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