本稿では、正規分布の等分散性に関する検定を導出しています。
なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
- スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
- $F_\alpha \left(n,m\right)$ は自由度 $n,m$ の $\mathrm{F}$分布の上側 $100\alpha\%$ 点を表しています。
データの形式
確率変数 $X,Y$ が正規分布 \begin{align} \mathrm{N} \left(\mu_X,\sigma_X^2\right) \quad \mathrm{N} \left(\mu_Y,\sigma_Y^2\right) \end{align} に従い、 この分布からの大きさ $n,m$ の無作為標本を \begin{align} \boldsymbol{X}= \left\{X_1,X_2, \cdots X_n\right\} \quad \boldsymbol{Y}= \left\{Y_1,Y_2, \cdots Y_m\right\} \end{align} それぞれの標本平均を \begin{gather} \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i \quad \bar{Y}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{n}Y_i \end{gather} とする。
【定理】正規分布の等分散性に関する検定
【定理】
正規分布の等分散性に関する検定
F-test of equality of variances
正規分布の等分散性に関する検定問題
（I）両側検定
\begin{align}
H_0:\sigma_X^2=\sigma_Y^2 \quad H_1:\sigma_X^2 \neq \sigma_Y^2
\end{align}
（II-A）片側検定A
\begin{align}
H_0:\sigma_X^2 \le \sigma_Y^2 \quad H_1:\sigma_X^2 \gt \sigma_Y^2
\end{align}
（II-B）片側検定B
\begin{align}
H_0:\sigma_X^2 \geq \sigma_Y^2 \quad H_1:\sigma_X^2 \lt \sigma_Y^2
\end{align}
を考える場合、
検定統計量を
\begin{align}
F_0=\frac{\frac{\sum_{i=1}^{n} \left(X_i-\bar{X}\right)^2}{n-1}}{\frac{\sum_{i=1}^{m} \left(Y_i-\bar{Y}\right)^2}{m-1}}
\end{align}
として、
（I）両側検定
以下の棄却域と検定関数 $\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)$ をもつ検定は有意水準を $\alpha$ とする一様最強力不偏検定となる。
\begin{gather}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}F_{1-0.5\alpha} \left(n-1,m-1\right) \le F_0 \le F_{0.5\alpha} \left(n-1,m-1\right)&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\F_0 \le F_{1-0.5\alpha} \left(n-1,m-1\right) \quad \mathrm{or} \quad F_{0.5\alpha} \left(n-1,m-1\right) \le F_0&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.\\
\end{gather}
（II）片側検定
以下の棄却域と検定関数 $\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)$ をもつ検定は有意水準を $\alpha$ とする一様最強力検定となる。
（II-A）片側検定A
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}F_0 \lt F_\alpha \left(n-1,m-1\right)&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\F_\alpha \left(n-1,m-1\right) \le F_0&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.
\end{align}
（II-B）片側検定B
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}F_{1-\alpha} \left(n-1,m-1\right) \lt F_0&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\F_0 \le F_{1-\alpha} \left(n-1,m-1\right)&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.
\end{align}
Step.1 検定統計量の対立仮説・帰無仮説における分布
（i）対立仮説における分布
標本平均を用いて標本値を標準化した値の平方和の分布は、
\begin{gather}
\chi_X^2=\frac{\sum_{i=1}^{n} \left(X_i-\bar{X}\right)^2}{\sigma_X^2} \sim \chi^2 \left(n-1\right)\\
\chi_Y^2=\frac{\sum_{i=1}^{m} \left(Y_i-\bar{Y}\right)^2}{\sigma_Y^2} \sim \chi^2 \left(m-1\right)
\end{gather}
$\mathrm{F}$分布の定義より、
\begin{gather}
\frac{\frac{\chi_X^2}{n-1}}{\frac{\chi_Y^2}{m-1}}=F \sim F \left(n-1,m-1\right)
\end{gather}
（ii）帰無仮説における分布
帰無仮説 $H_0:\sigma_X^2=\sigma_Y^2$ における分布は、
\begin{align}
F_0&=\frac{\frac{1}{n-1} \cdot \frac{\sum_{i=1}^{n} \left(X_i-\bar{X}\right)^2}{\sigma_X^2}}{\frac{1}{m-1} \cdot \frac{\sum_{i=1}^{m} \left(Y_i-\bar{Y}\right)^2}{\sigma_Y^2}}\\
&=\frac{\frac{\sum_{i=1}^{n} \left(X_i-\bar{X}\right)^2}{n-1}}{\frac{\sum_{i=1}^{m} \left(Y_i-\bar{Y}\right)^2}{m-1}}
\end{align}
\begin{gather}
F_0 \sim F \left(n-1,m-1\right)
\end{gather}
Step.2 検定関数と棄却域の型
（I）両側検定
ネイマン・ピアソンの基本定理により、次の棄却域と検定関数 $\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)$ をもつ検定が有意水準を $\alpha$ とする一様最強力不偏検定となる。
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}a \le T \left(\boldsymbol{X}\right) \le b&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\T \left(\boldsymbol{X}\right) \lt a \quad \mathrm{or} \quad b \lt T \left(\boldsymbol{X}\right)&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.\tag{1}
\end{align}
（II）片側検定
ネイマン・ピアソンの基本定理と単調尤度比の原理により、次の棄却域と検定関数 $\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)$ をもつ検定が有意水準を $\alpha$ とする一様最強力検定となる。
検定A
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}T \left(\boldsymbol{X}\right) \lt a&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\a \le T \left(\boldsymbol{X}\right)&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.\tag{2}
\end{align}
検定B
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}b \lt T \left(\boldsymbol{X}\right)&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\T \left(\boldsymbol{X}\right) \le b&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.\tag{3}
\end{align}
Step.3 棄却域の設定
（I）両側検定
パーセント点の定義より、
\begin{align}
P \left[F_{1-0.5\alpha} \left(n-1,m-1\right) \le F_0 \le F_{0.5\alpha} \left(n-1,m-1\right)\right]=1-\alpha
\end{align}
したがって、式 $(1)$ において、$a=F_{1-0.5\alpha} \left(n-1,m-1\right),b=F_{0.5\alpha} \left(n-1,m-1\right)$ とすると、
\begin{gather}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}F_{1-0.5\alpha} \left(n-1,m-1\right) \le F_0 \le F_{0.5\alpha} \left(n-1,m-1\right)&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\F_0 \le F_{1-0.5\alpha} \left(n-1,m-1\right) \quad \mathrm{or} \quad F_{0.5\alpha} \left(n-1,m-1\right) \le F_0&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.
\end{gather}
（II-A）片側検定A
パーセント点の定義より、
\begin{align}
P \left[F_0 \le F_{0.5\alpha} \left(n-1,m-1\right)\right]=1-\alpha
\end{align}
したがって、式 $(2)$ において、$a=F_{0.5\alpha} \left(n-1,m-1\right)$ とすると、
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}F_0 \lt F_\alpha \left(n-1,m-1\right)&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\F_\alpha \left(n-1,m-1\right) \le F_0&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.
\end{align}
（II-B）片側検定B
パーセント点の定義より、
\begin{align}
P \left[F_0 \le F_{1-\alpha} \left(n-1,m-1\right)\right]=1-\alpha
\end{align}
したがって、式 $(3)$ において、$b=F_{1-\alpha} \left(n-1,m-1\right)$ とすると、
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}F_{1-\alpha} \left(n-1,m-1\right) \lt F_0&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\F_0 \le F_{1-\alpha} \left(n-1,m-1\right)&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.
\end{align}
$\blacksquare$
参考文献
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.277-278
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