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スラツキーの定理の証明

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【2023年4月3週】 【B000】数理統計学 【B060】標本分布

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本稿では、スラツキーの定理を証明しています。

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【定理】スラツキーの定理

【定理】
スラツキーの定理
Slutzky’s Theorem

2つの確率変数 X,Y の列 Xn={X1,X2,⋯,Xn}Yn={Y1,Y2,⋯,Yn} と c≠0 を満たす任意の実数 c について、 {Xn} が確率変数 X に分布収束し、{Yn} が c に確率収束する、すなわち、 Xn→dXYn→pc のとき、 （i）和の漸近分布 Xn+Yn→dX+c （ii）積の漸近分布 XnYn→dcX （iii）比の漸近分布 XnYn→dXc が成り立つ。

 

証明：和の漸近分布

証明

確率変数 X,Zn=Xn+Yn の累積分布関数をそれぞれ、F(x),Hn(z) とすると、0<ε<c に対して、 Hn(z)=P(Xn+Yn≤z)=P(Xn+Yn≤z,|Yn−c|<ε)+P(Xn+Yn≤z,|Yn−c|≥ε) ここで、|Yn−c|<ε のとき、 Xn+Yn≤z⇒Xn<z−Yn<z−c+ε したがって、 Hn(z)≤P(Xn+c≤z+ε,|Yn−c|<ε)+P(|Yn−c|≥ε)(1)≤P(Xn+c≤z+ε)+P(|Yn−c|≥ε) 同様に、1−Hn(z) について、 1−Hn(z)=P(Xn+Yn>z)=P(Xn+Yn>z,|Yn−c|<ε)+P(Xn+Yn>z,|Yn−c|≥ε)≤P(Xn+c>z−ε,|Yn−c|<ε)+P(|Yn−c|≥ε)(2)≤P(Xn+c>z−ε)+P(|Yn−c|≥ε) ここで、 P(Xn+c≤z−ε)+P(Xn+c>z−ε)=1 なので、 式 (2) より、 P(Xn+c≤z−ε)+P(Xn+c>z−ε)−Hn(z)≤P(Xn+c>z−ε)+P(|Yn−c|≥ε)(3)P(Xn+c≤z−ε)−P(|Yn−c|≥ε)≤Hn(z) よって、式 (1),(3) より、 P(Xn+c≤z−ε)−P(|Yn−c|≥ε)≤Hn(z)≤P(Xn+c≤z+ε)+P(|Yn−c|≥ε) 両辺の n→∞ のときの極限を取ると、 limn→∞{P(Xn+c≤z−ε)−P(|Yn−c|≥ε)}≤limn→∞Hn(z)≤limn→∞{P(Xn+c≤z+ε)+P(|Yn−c|≥ε)} {Yn} が c に確率収束する limn→∞P(|Yn−c|≥ε)=0 ことから、 limn→∞P(Xn+c≤z−ε)≤limn→∞Hn(z)≤limn→∞P(Xn+c≤z−ε) ε を十分小さく取る ε→0 と、 limn→∞P(Xn+c≤z)≤limn→∞Hn(z)≤limn→∞P(Xn+c≤z) {Xn} が X に分布収束するので、 limn→∞P(Xn≤x)=P(X≤x) 連続写像の定理 limn→∞P{g(Xn)≤g(x)}=P{g(X)≤g(x)} より、 limn→∞P(Xn+c≤x+c)=P(X+c≤x+c) したがって、 F(x+c)≤limn→∞Hn(z)≤F(x+c) はさみうちの原理により、 limn→∞Hn(z)=F(x+c) したがって、分布収束の定義より、 Xn+Yn→dX+c ◼

 

証明：積の漸近分布

証明

確率変数 X,Zn=XnYn の累積分布関数をそれぞれ、F(x),Hn(z) とすると、0<ε<c に対して、 Hn(z)=P(XnYn≤z)=P(XnYn≤z,|Yn−c|<ε)+P(XnYn≤z,|Yn−c|≥ε) ここで、|Yn−c|<ε のとき、 XnYn≤z⇒Xn≤zYn<zc−ε⇒Xn(c−ε)≤z したがって、 Hn(z)≤P{Xn(c−ε)≤z,|Yn−c|<ε}+P(|Yn−c|≥ε)(4)≤P{Xn(c−ε)≤z}+P(|Yn−c|≥ε) 同様に、1−Hn(z) について、 1−Hn(z)=P(XnYn>z)=P(XnYn>z,|Yn−c|<ε)+P(XnYn>z,|Yn−c|≥ε)≤P{Xn(c−ε)>z,|Yn−c|<ε}+P(|Yn−c|≥ε)(5)≤P{Xn(c−ε)>z}+P(|Yn−c|≥ε) ここで、 P{Xn(c−ε)>z}+P{Xn(c−ε)≤z}=1 なので、 式 (5) より、 P{Xn(c−ε)>z}+P{Xn(c−ε)≤z}−Hn(z)≤P{Xn(c−ε)>z}+P(|Yn−c|≥ε)(6)P{Xn(c−ε)≤z}−P(|Yn−c|≥ε)≤Hn(z) よって、式 (4),(6) より、 P{Xn(c−ε)≤z}−P(|Yn−c|≥ε)≤Hn(z)≤P{Xn(c−ε)≤z}+P(|Yn−c|≥ε) 両辺の n→∞ のときの極限を取ると、 limn→∞{P{Xn(c−ε)≤z}−P(|Yn−c|≥ε)}≤limn→∞Hn(z)≤limn→∞{P{Xn(c−ε)≤z}+P(|Yn−c|≥ε)} {Yn} が c に確率収束する limn→∞P(|Yn−c|≥ε)=0 ことから、 limn→∞P{Xn(c−ε)≤z}≤limn→∞Hn(z)≤limn→∞P{Xn(c−ε)≤z} ε を十分小さく取る ε→0 と、 limn→∞P(cXn≤z)≤limn→∞Hn(z)≤limn→∞P(cXn≤z) {Xn} が X に分布収束するので、 limn→∞P(Xn≤x)=P(X≤x) 連続写像の定理 limn→∞P{g(Xn)≤g(x)}=P{g(X)≤g(x)} より、 limn→∞P(cXn≤cx)=P(cX≤cx) したがって、 F(cx)≤limn→∞Hn(z)≤F(cx) はさみうちの原理により、 limn→∞Hn(z)=F(cx) したがって、分布収束の定義より、 XnYn→dcX ◼

 

証明：比の漸近分布

証明

確率変数 X,Zn=XnYn の累積分布関数をそれぞれ、F(x),Hn(z) とすると、0<ε<c に対して、 Hn(z)=P(XnYn≤z)=P(XnYn≤z,|Yn−c|<ε)+P(XnYn≤z,|Yn−c|≥ε) ここで、|Yn−c|<ε のとき、 XnYn≤z⇒Xn≤zYn<z(c+ε) したがって、 Hn(z)≤P(Xnc+ε≤z,|Yn−c|<ε)+P(|Yn−c|≥ε)(7)≤P(Xnc+ε≤z)+P(|Yn−c|≥ε) 同様に、1−Hn(z) について、 1−Hn(z)=P(XnYn>z)=P(XnYn>z,|Yn−c|<ε)+P(XnYn>z,|Yn−c|≥ε)≤P(Xnc+ε>z,|Yn−c|<ε)+P(|Yn−c|≥ε)(8)≤P(Xnc+ε>z)+P(|Yn−c|≥ε) ここで、 P(Xnc+ε>z)+P(Xnc+ε≤z)=1 なので、 式 (8) より、 P(Xnc+ε>z)+P(Xnc+ε≤z)−Hn(z)≤P(Xnc+ε>z)+P(|Yn−c|≥ε)(9)P(Xnc+ε≤z)−P(|Yn−c|≥ε)≤Hn(z) よって、式 (7),(9) より、 P(Xnc+ε≤z)−P(|Yn−c|≥ε)≤Hn(z)≤P(Xnc+ε≤z)+P(|Yn−c|≥ε) 両辺の n→∞ のときの極限を取ると、 limn→∞{P(Xnc+ε≤z)−P(|Yn−c|≥ε)}≤limn→∞Hn(z)≤limn→∞{P(Xnc+ε≤z)+P(|Yn−c|≥ε)} {Yn} が c に確率収束する limn→∞P(|Yn−c|≥ε)=0 ことから、 limn→∞P(Xnc+ε≤z)≤limn→∞Hn(z)≤limn→∞P(Xnc+ε≤z) ε を十分小さく取る ε→0 と、 limn→∞P(Xnc≤z)≤limn→∞Hn(z)≤limn→∞P(Xnc≤z) {Xn} が X に分布収束するので、 limn→∞P(Xn≤x)=P(X≤x) 連続写像の定理 limn→∞P{g(Xn)≤g(x)}=P{g(X)≤g(x)} より、 limn→∞P(Xnc≤xc)=P(Xc≤xc) したがって、 F(xc)≤limn→∞Hn(z)≤F(xc) はさみうちの原理により、 limn→∞Hn(z)=F(xc) したがって、分布収束の定義より、 XnYn→dXc ◼

 

参考文献

  • 黒木 学 著. 数理統計学：統計的推論の基礎. 共立出版, 2020, p.133-134
  • 黒木 学 著. 数理統計学：統計的推論の基礎. 共立出版, 2020, p.140 演習問題 7.2

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大学時代に読書の面白さに気づいて以来、読書や勉強を通じて、興味をもったことや新しいことを学ぶことが生きる原動力。そんな人間が、その時々に学んだことを備忘録兼人生の軌跡として記録しているブログです。

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