スラツキーの定理の証明

確率変数 $X,Z_n=X_n+Y_n$ の累積分布関数をそれぞれ、$F \left(x\right),H_n \left(z\right)$ とすると、$0 \lt \varepsilon \lt c$ に対して、 \begin{align} H_n \left(z\right)&=P \left(X_n+Y_n \le z\right)\\ &=P \left(X_n+Y_n \le z, \left|Y_n-c\right| \lt \varepsilon\right)+P \left(X_n+Y_n \le z, \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right)\\ \end{align} ここで、$ \left|Y_n-c\right| \lt \varepsilon$ のとき、 \begin{align} X_n+Y_n \le z\Rightarrow X_n \lt z-Y_n \lt z-c+\varepsilon \end{align} したがって、 \begin{align} H_n \left(z\right)& \le P \left(X_n+c \le z+\varepsilon, \left|Y_n-c\right| \lt \varepsilon\right)+P \left( \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right)\\ & \le P \left(X_n+c \le z+\varepsilon\right)+P \left( \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right)\tag{1} \end{align} 同様に、$1-H_n \left(z\right)$ について、 \begin{align} 1-H_n \left(z\right)&=P \left(X_n+Y_n \gt z\right)\\ &=P \left(X_n+Y_n \gt z, \left|Y_n-c\right| \lt \varepsilon\right)+P \left(X_n+Y_n \gt z, \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right)\\ & \le P \left(X_n+c \gt z-\varepsilon, \left|Y_n-c\right| \lt \varepsilon\right)+P \left( \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right)\\ & \le P \left(X_n+c \gt z-\varepsilon\right)+P \left( \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right)\tag{2} \end{align} ここで、 \begin{align} P \left(X_n+c \le z-\varepsilon\right)+P \left(X_n+c \gt z-\varepsilon\right)=1 \end{align} なので、 式 $(2)$ より、 \begin{gather} P \left(X_n+c \le z-\varepsilon\right)+P \left(X_n+c \gt z-\varepsilon\right)-H_n \left(z\right) \le P \left(X_n+c \gt z-\varepsilon\right)+P \left( \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right)\\ P \left(X_n+c \le z-\varepsilon\right)-P \left( \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right) \le H_n \left(z\right)\tag{3} \end{gather} よって、式 $(1),(3)$ より、 \begin{gather} P \left(X_n+c \le z-\varepsilon\right)-P \left( \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right) \le H_n \left(z\right) \le P \left(X_n+c \le z+\varepsilon\right)+P \left( \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right) \end{gather} 両辺の $n\rightarrow\infty$ のときの極限を取ると、 \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{ \left\{P \left(X_n+c \le z-\varepsilon\right)-P \left( \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right)\right\}} \le \lim_{n\rightarrow\infty}{H_n \left(z\right)} \le \lim_{n\rightarrow\infty}{ \left\{P \left(X_n+c \le z+\varepsilon\right)+P \left( \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right)\right\}} \end{gather} $ \left\{Y_n\right\}$ が $c$ に確率収束する $\lim_{n\rightarrow\infty}{P \left( \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right)}=0$ ことから、 \begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}{P \left(X_n+c \le z-\varepsilon\right)} \le \lim_{n\rightarrow\infty}{H_n \left(z\right)} \le \lim_{n\rightarrow\infty}{P \left(X_n+c \le z-\varepsilon\right)} \end{align} $\varepsilon$ を十分小さく取る $\varepsilon\rightarrow0$ と、 \begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}{P \left(X_n+c \le z\right)} \le \lim_{n\rightarrow\infty}{H_n \left(z\right)} \le \lim_{n\rightarrow\infty}{P \left(X_n+c \le z\right)} \end{align} $ \left\{X_n\right\}$ が $X$ に分布収束するので、 \begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}{P \left(X_n \le x\right)}=P \left(X \le x\right) \end{align} 連続写像の定理 $\lim_{n\rightarrow\infty}{P \left\{g \left(X_n\right) \le g \left(x\right)\right\}}=P \left\{g \left(X\right) \le g \left(x\right)\right\}$ より、 \begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}{P \left(X_n+c \le x+c\right)}=P \left(X+c \le x+c\right) \end{align} したがって、 \begin{align} F \left(x+c\right) \le \lim_{n\rightarrow\infty}{H_n \left(z\right)} \le F \left(x+c\right) \end{align} はさみうちの原理により、 \begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}{H_n \left(z\right)}=F \left(x+c\right) \end{align} したがって、分布収束の定義より、 \begin{align} X_n+Y_n\xrightarrow[]{d}X+c \end{align} $\blacksquare$

確率変数 $X,Z_n=X_nY_n$ の累積分布関数をそれぞれ、$F \left(x\right),H_n \left(z\right)$ とすると、$0 \lt \varepsilon \lt c$ に対して、 \begin{align} H_n \left(z\right)&=P \left(X_nY_n \le z\right)\\ &=P \left(X_nY_n \le z, \left|Y_n-c\right| \lt \varepsilon\right)+P \left(X_nY_n \le z, \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right)\\ \end{align} ここで、$ \left|Y_n-c\right| \lt \varepsilon$ のとき、 \begin{align} X_nY_n \le z\Rightarrow X_n \le \frac{z}{Y_n} \lt \frac{z}{c-\varepsilon}\Rightarrow X_n \left(c-\varepsilon\right) \le z \end{align} したがって、 \begin{align} H_n \left(z\right)& \le P \left\{X_n \left(c-\varepsilon\right) \le z, \left|Y_n-c\right| \lt \varepsilon\right\}+P \left( \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right)\\ & \le P \left\{X_n \left(c-\varepsilon\right) \le z\right\}+P \left( \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right)\tag{4} \end{align} 同様に、$1-H_n \left(z\right)$ について、 \begin{align} 1-H_n \left(z\right)&=P \left(X_nY_n \gt z\right)\\ &=P \left(X_nY_n \gt z, \left|Y_n-c\right| \lt \varepsilon\right)+P \left(X_nY_n \gt z, \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right)\\ & \le P \left\{X_n \left(c-\varepsilon\right) \gt z, \left|Y_n-c\right| \lt \varepsilon\right\}+P \left( \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right)\\ & \le P \left\{X_n \left(c-\varepsilon\right) \gt z\right\}+P \left( \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right)\tag{5} \end{align} ここで、 \begin{align} P \left\{X_n \left(c-\varepsilon\right) \gt z\right\}+P \left\{X_n \left(c-\varepsilon\right) \le z\right\}=1 \end{align} なので、 式 $(5)$ より、 \begin{gather} P \left\{X_n \left(c-\varepsilon\right) \gt z\right\}+P \left\{X_n \left(c-\varepsilon\right) \le z\right\}-H_n \left(z\right) \le P \left\{X_n \left(c-\varepsilon\right) \gt z\right\}+P \left( \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right)\\ P \left\{X_n \left(c-\varepsilon\right) \le z\right\}-P \left( \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right) \le H_n \left(z\right)\tag{6} \end{gather} よって、式 $(4),(6)$ より、 \begin{gather} P \left\{X_n \left(c-\varepsilon\right) \le z\right\}-P \left( \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right) \le H_n \left(z\right) \le P \left\{X_n \left(c-\varepsilon\right) \le z\right\}+P \left( \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right) \end{gather} 両辺の $n\rightarrow\infty$ のときの極限を取ると、 \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{ \left\{P \left\{X_n \left(c-\varepsilon\right) \le z\right\}-P \left( \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right)\right\}} \le \lim_{n\rightarrow\infty}{H_n \left(z\right)} \le \lim_{n\rightarrow\infty}{ \left\{P \left\{X_n \left(c-\varepsilon\right) \le z\right\}+P \left( \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right)\right\}} \end{gather} $ \left\{Y_n\right\}$ が $c$ に確率収束する $\lim_{n\rightarrow\infty}{P \left( \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right)}=0$ ことから、 \begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}{P \left\{X_n \left(c-\varepsilon\right) \le z\right\}} \le \lim_{n\rightarrow\infty}{H_n \left(z\right)} \le \lim_{n\rightarrow\infty}{P \left\{X_n \left(c-\varepsilon\right) \le z\right\}} \end{align} $\varepsilon$ を十分小さく取る $\varepsilon\rightarrow0$ と、 \begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}{P \left(cX_n \le z\right)} \le \lim_{n\rightarrow\infty}{H_n \left(z\right)} \le \lim_{n\rightarrow\infty}{P \left(cX_n \le z\right)} \end{align} $ \left\{X_n\right\}$ が $X$ に分布収束するので、 \begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}{P \left(X_n \le x\right)}=P \left(X \le x\right) \end{align} 連続写像の定理 $\lim_{n\rightarrow\infty}{P \left\{g \left(X_n\right) \le g \left(x\right)\right\}}=P \left\{g \left(X\right) \le g \left(x\right)\right\}$ より、 \begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}{P \left(cX_n \le c x\right)}=P \left(cX \le c x\right) \end{align} したがって、 \begin{align} F \left(cx\right) \le \lim_{n\rightarrow\infty}{H_n \left(z\right)} \le F \left(cx\right) \end{align} はさみうちの原理により、 \begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}{H_n \left(z\right)}=F \left(cx\right) \end{align} したがって、分布収束の定義より、 \begin{align} X_nY_n\xrightarrow[]{d}cX \end{align} $\blacksquare$

確率変数 $X,Z_n=\frac{X_n}{Y_n}$ の累積分布関数をそれぞれ、$F \left(x\right),H_n \left(z\right)$ とすると、$0 \lt \varepsilon \lt c$ に対して、 \begin{align} H_n \left(z\right)&=P \left(\frac{X_n}{Y_n} \le z\right)\\ &=P \left(\frac{X_n}{Y_n} \le z, \left|Y_n-c\right| \lt \varepsilon\right)+P \left(\frac{X_n}{Y_n} \le z, \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right)\\ \end{align} ここで、$ \left|Y_n-c\right| \lt \varepsilon$ のとき、 \begin{align} \frac{X_n}{Y_n} \le z\Rightarrow X_n \le zY_n \lt z \left(c+\varepsilon\right) \end{align} したがって、 \begin{align} H_n \left(z\right)& \le P \left(\frac{X_n}{c+\varepsilon} \le z, \left|Y_n-c\right| \lt \varepsilon\right)+P \left( \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right)\\ & \le P \left(\frac{X_n}{c+\varepsilon} \le z\right)+P \left( \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right)\tag{7} \end{align} 同様に、$1-H_n \left(z\right)$ について、 \begin{align} 1-H_n \left(z\right)&=P \left(\frac{X_n}{Y_n} \gt z\right)\\ &=P \left(\frac{X_n}{Y_n} \gt z, \left|Y_n-c\right| \lt \varepsilon\right)+P \left(\frac{X_n}{Y_n} \gt z, \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right)\\ & \le P \left(\frac{X_n}{c+\varepsilon} \gt z, \left|Y_n-c\right| \lt \varepsilon\right)+P \left( \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right)\\ & \le P \left(\frac{X_n}{c+\varepsilon} \gt z\right)+P \left( \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right)\tag{8} \end{align} ここで、 \begin{align} P \left(\frac{X_n}{c+\varepsilon} \gt z\right)+P \left(\frac{X_n}{c+\varepsilon} \le z\right)=1 \end{align} なので、 式 $(8)$ より、 \begin{gather} P \left(\frac{X_n}{c+\varepsilon} \gt z\right)+P \left(\frac{X_n}{c+\varepsilon} \le z\right)-H_n \left(z\right) \le P \left(\frac{X_n}{c+\varepsilon} \gt z\right)+P \left( \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right)\\ P \left(\frac{X_n}{c+\varepsilon} \le z\right)-P \left( \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right) \le H_n \left(z\right)\tag{9} \end{gather} よって、式 $(7),(9)$ より、 \begin{gather} P \left(\frac{X_n}{c+\varepsilon} \le z\right)-P \left( \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right) \le H_n \left(z\right) \le P \left(\frac{X_n}{c+\varepsilon} \le z\right)+P \left( \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right) \end{gather} 両辺の $n\rightarrow\infty$ のときの極限を取ると、 \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{ \left\{P \left(\frac{X_n}{c+\varepsilon} \le z\right)-P \left( \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right)\right\}} \le \lim_{n\rightarrow\infty}{H_n \left(z\right)} \le \lim_{n\rightarrow\infty}{ \left\{P \left(\frac{X_n}{c+\varepsilon} \le z\right)+P \left( \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right)\right\}} \end{gather} $ \left\{Y_n\right\}$ が $c$ に確率収束する $\lim_{n\rightarrow\infty}{P \left( \left|Y_n-c\right| \geq \varepsilon\right)}=0$ ことから、 \begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}{P \left(\frac{X_n}{c+\varepsilon} \le z\right)} \le \lim_{n\rightarrow\infty}{H_n \left(z\right)} \le \lim_{n\rightarrow\infty}{P \left(\frac{X_n}{c+\varepsilon} \le z\right)} \end{align} $\varepsilon$ を十分小さく取る $\varepsilon\rightarrow0$ と、 \begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}{P \left(\frac{X_n}{c} \le z\right)} \le \lim_{n\rightarrow\infty}{H_n \left(z\right)} \le \lim_{n\rightarrow\infty}{P \left(\frac{X_n}{c} \le z\right)} \end{align} $ \left\{X_n\right\}$ が $X$ に分布収束するので、 \begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}{P \left(X_n \le x\right)}=P \left(X \le x\right) \end{align} 連続写像の定理 $\lim_{n\rightarrow\infty}{P \left\{g \left(X_n\right) \le g \left(x\right)\right\}}=P \left\{g \left(X\right) \le g \left(x\right)\right\}$ より、 \begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}{P \left(\frac{X_n}{c} \le \frac{x}{c}\right)}=P \left(\frac{X}{c} \le \frac{x}{c}\right) \end{align} したがって、 \begin{align} F \left(\frac{x}{c}\right) \le \lim_{n\rightarrow\infty}{H_n \left(z\right)} \le F \left(\frac{x}{c}\right) \end{align} はさみうちの原理により、 \begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}{H_n \left(z\right)}=F \left(\frac{x}{c}\right) \end{align} したがって、分布収束の定義より、 \begin{align} \frac{X_n}{Y_n}\xrightarrow[]{d}\frac{X}{c} \end{align} $\blacksquare$