ミンコフスキーの不等式の証明

（i）$p=1$ のとき
$|X+Y|\le \left|X\right|+\left|Y\right|$ なので、両辺の期待値を取ると、 $$\begin{array}{r}E\left[|X+Y|\right]\le E\left[\left|X\right|\right]+E\left[\left|Y\right|\right]\end{array}$$ となり、与式は成り立つ。

（ii）$1<p$ のとき
期待値の定義式 $E\left[g(x,y)\right]={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g(x,y)\cdot f(x,y)dxdy$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left[{|X+Y|}^p\right]& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{|X+Y|}^p\cdot f(x,y)dxdy\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|X+Y|{|X+Y|}^{p-1}\cdot f(x,y)dxdy\end{array}$$ $|X+Y|\le \left|X\right|+\left|Y\right|$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left[{|X+Y|}^p\right]& \le {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\left|X\right|+\left|Y\right|){|X+Y|}^{p-1}\cdot f(x,y)dxdy\\ & \le {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\left|X\right|{|X+Y|}^{p-1}\cdot f(x,y)dxdy+{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\left|Y\right|{|X+Y|}^{p-1}\cdot f(x,y)dxdy\end{array}$$ 期待値の定義式 $E\left[g(x,y)\right]={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g(x,y)\cdot f(x,y)dxdy$ より、 $$\begin{array}{}\text{(1)}& E\left[{|X+Y|}^p\right]\le E\left[\left|X\right|{|X+Y|}^{p-1}\right]+E\left[\left|Y\right|{|X+Y|}^{p-1}\right]\end{array}$$ ヘルダーの不等式 $E\left[\left|XY\right|\right]\le {\left\{E\left[{\left|X\right|}^p\right]\right\}}^{\frac{1}{p}}{\left\{E\left[{\left|Y\right|}^q\right]\right\}}^{\frac{1}{q}}$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left[\left|X\right|{|X+Y|}^{p-1}\right]+E\left[\left|Y\right|{|X+Y|}^{p-1}\right]& \le {\left\{E\left[{\left|X\right|}^p\right]\right\}}^{\frac{1}{p}}{\left\{E\left[{|X+Y|}^{q(p-1)}\right]\right\}}^{\frac{1}{q}}+{\left\{E\left[{\left|Y\right|}^p\right]\right\}}^{\frac{1}{p}}{\left\{E\left[{|X+Y|}^{q(p-1)}\right]\right\}}^{\frac{1}{q}}\\ & \le [{\left\{E\left[{\left|X\right|}^p\right]\right\}}^{\frac{1}{p}}+{\left\{E\left[{\left|Y\right|}^p\right]\right\}}^{\frac{1}{p}}]{\left\{E\left[{|X+Y|}^{q(p-1)}\right]\right\}}^{\frac{1}{q}}\end{array}$$ 式 $(1)$ より、 $$\begin{array}{r}E\left[{|X+Y|}^p\right]\le [{\left\{E\left[{\left|X\right|}^p\right]\right\}}^{\frac{1}{p}}+{\left\{E\left[{\left|Y\right|}^p\right]\right\}}^{\frac{1}{p}}]{\left\{E\left[{|X+Y|}^{q(p-1)}\right]\right\}}^{\frac{1}{q}}\end{array}$$ ここで、$1<p$ より、 $$\begin{array}{r}\frac{p}{p-1}=q\iff \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\end{array}$$ を満たす実数 $q$ が存在し、 $$\begin{array}{r}q(p-1)=p\frac{1}{q}=1-\frac{1}{p}\end{array}$$ が成り立つので、 $$\begin{array}{rl}E\left[{|X+Y|}^p\right]& \le [{\left\{E\left[{\left|X\right|}^p\right]\right\}}^{\frac{1}{p}}+{\left\{E\left[{\left|Y\right|}^p\right]\right\}}^{\frac{1}{p}}]{\left\{E\left[{|X+Y|}^p\right]\right\}}^{1-\frac{1}{p}}\\ & \le [{\left\{E\left[{\left|X\right|}^p\right]\right\}}^{\frac{1}{p}}+{\left\{E\left[{\left|Y\right|}^p\right]\right\}}^{\frac{1}{p}}]\left\{E\left[{|X+Y|}^p\right]\right\}{\left\{E\left[{|X+Y|}^p\right]\right\}}^{-\frac{1}{p}}\end{array}$$ したがって、両辺を $\left\{E\left[{|X+Y|}^p\right]\right\}{\left\{E\left[{|X+Y|}^p\right]\right\}}^{-\frac{1}{p}}$ で割ると、 $$\begin{array}{r}{\left\{E\left[{|X+Y|}^p\right]\right\}}^{\frac{1}{p}}\le {\left\{E\left[{\left|X\right|}^p\right]\right\}}^{\frac{1}{p}}+{\left\{E\left[{\left|Y\right|}^p\right]\right\}}^{\frac{1}{p}}\end{array}$$ $◼$