ミンコフスキーの不等式の証明

（i）$p=1$ のとき
$ \left|X+Y\right| \le \left|X\right|+ \left|Y\right|$ なので、両辺の期待値を取ると、 \begin{align} E \left[ \left|X+Y\right|\right] \le E \left[ \left|X\right|\right]+E \left[ \left|Y\right|\right] \end{align} となり、与式は成り立つ。

（ii）$1 \lt p$ のとき
期待値の定義式 $E \left[g \left(x,y\right)\right]=\int_{-\infty}^{\infty}{g \left(x,y\right) \cdot f \left(x,y\right)dxdy}$ より、 \begin{align} E \left[ \left|X+Y\right|^p\right]&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}{ \left|X+Y\right|^p \cdot f \left(x,y\right)dxdy}\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}{ \left|X+Y\right| \left|X+Y\right|^{p-1} \cdot f \left(x,y\right)dxdy} \end{align} $ \left|X+Y\right| \le \left|X\right|+ \left|Y\right|$ より、 \begin{align} E \left[ \left|X+Y\right|^p\right]& \le \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}{ \left( \left|X\right|+ \left|Y\right|\right) \left|X+Y\right|^{p-1} \cdot f \left(x,y\right)dxdy}\\ & \le \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}{ \left|X\right| \left|X+Y\right|^{p-1} \cdot f \left(x,y\right)dxdy}+\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}{ \left|Y\right| \left|X+Y\right|^{p-1} \cdot f \left(x,y\right)dxdy} \end{align} 期待値の定義式 $E \left[g \left(x,y\right)\right]=\int_{-\infty}^{\infty}{g \left(x,y\right) \cdot f \left(x,y\right)dxdy}$ より、 \begin{align} E \left[ \left|X+Y\right|^p\right] \le E \left[ \left|X\right| \left|X+Y\right|^{p-1}\right]+E \left[ \left|Y\right| \left|X+Y\right|^{p-1}\right]\tag1 \end{align} ヘルダーの不等式 $E \left[ \left|XY\right|\right] \le \left\{E \left[ \left|X\right|^p\right]\right\}^\frac{1}{p} \left\{E \left[ \left|Y\right|^q\right]\right\}^\frac{1}{q}$ より、 \begin{align} E \left[ \left|X\right| \left|X+Y\right|^{p-1}\right]+E \left[ \left|Y\right| \left|X+Y\right|^{p-1}\right]& \le \left\{E \left[ \left|X\right|^p\right]\right\}^\frac{1}{p} \left\{E \left[ \left|X+Y\right|^{q \left(p-1\right)}\right]\right\}^\frac{1}{q}+ \left\{E \left[ \left|Y\right|^p\right]\right\}^\frac{1}{p} \left\{E \left[ \left|X+Y\right|^{q \left(p-1\right)}\right]\right\}^\frac{1}{q}\\ & \le \left[ \left\{E \left[ \left|X\right|^p\right]\right\}^\frac{1}{p}+ \left\{E \left[ \left|Y\right|^p\right]\right\}^\frac{1}{p}\right] \left\{E \left[ \left|X+Y\right|^{q \left(p-1\right)}\right]\right\}^\frac{1}{q} \end{align} 式 $(1)$ より、 \begin{align} E \left[ \left|X+Y\right|^p\right] \le \left[ \left\{E \left[ \left|X\right|^p\right]\right\}^\frac{1}{p}+ \left\{E \left[ \left|Y\right|^p\right]\right\}^\frac{1}{p}\right] \left\{E \left[ \left|X+Y\right|^{q \left(p-1\right)}\right]\right\}^\frac{1}{q} \end{align} ここで、$1 \lt p$ より、 \begin{align} \frac{p}{p-1}=q\Leftrightarrow\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 \end{align} を満たす実数 $q$ が存在し、 \begin{align} q \left(p-1\right)=p \quad \ \frac{1}{q}=1-\frac{1}{p} \end{align} が成り立つので、 \begin{align} E \left[ \left|X+Y\right|^p\right]& \le \left[ \left\{E \left[ \left|X\right|^p\right]\right\}^\frac{1}{p}+ \left\{E \left[ \left|Y\right|^p\right]\right\}^\frac{1}{p}\right] \left\{E \left[ \left|X+Y\right|^p\right]\right\}^{1-\frac{1}{p}}\\ & \le \left[ \left\{E \left[ \left|X\right|^p\right]\right\}^\frac{1}{p}+ \left\{E \left[ \left|Y\right|^p\right]\right\}^\frac{1}{p}\right] \left\{E \left[ \left|X+Y\right|^p\right]\right\} \left\{E \left[ \left|X+Y\right|^p\right]\right\}^{-\frac{1}{p}} \end{align} したがって、両辺を $ \left\{E \left[ \left|X+Y\right|^p\right]\right\} \left\{E \left[ \left|X+Y\right|^p\right]\right\}^{-\frac{1}{p}}$ で割ると、 \begin{align} \left\{E \left[ \left|X+Y\right|^p\right]\right\}^\frac{1}{p} \le \left\{E \left[ \left|X\right|^p\right]\right\}^\frac{1}{p}+ \left\{E \left[ \left|Y\right|^p\right]\right\}^\frac{1}{p} \end{align} $\blacksquare$