t分布の標準正規分布への収束

$\mathrm{t}$分布の確率密度関数 $f(x)$ は、 $$\begin{array}{c}f\left(x\right)=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi }\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{(1+\frac{x^2}{n})}^{-\frac{n+1}{2}}\end{array}$$ これを $$\begin{array}{c}A={(1+\frac{x^2}{n})}^{-\frac{n+1}{2}}\\ B=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi }\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}\end{array}$$ とすると、 （i）$A$ について、$n\to \mathrm{\infty }$ のときの極限を取ると、 $$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{x^2}{n})}^{-\frac{n+1}{2}}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{x^2}{n})}^{-\frac{n}{2}}\cdot {(1+\frac{x^2}{n})}^{-\frac{1}{2}}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left\{{(1+\frac{x^2}{n})}^{\frac{n}{x^2}}\right\}}^{-\frac{x^2}{2}}\cdot {(1+\frac{x^2}{n})}^{-\frac{1}{2}}\end{array}$$ ネイピアの数の定義式 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n=e$ より、 $$\begin{array}{}\text{(1)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{x^2}{n})}^{-\frac{n+1}{2}}=e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot 1=e^{-\frac{x^2}{2}}\end{array}$$

（i）$B$ について、スターリングの公式 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\mathrm{\Gamma }\left(x\right)=\frac{\sqrt{2\pi }}{\sqrt{x}}{\left(\frac{x}{e}\right)}^x$ より、 $$\begin{array}{rl}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\mathrm{\Gamma }(x+k)}{\mathrm{\Gamma }\left(x\right)}& =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\{\frac{\sqrt{2\pi }}{\sqrt{x+k}}{(x+k)}^{x+k}{e}^{-(x+k)}\cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2\pi }}{x}^{-x}{e}^x\}\\ & =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+k}}\cdot {(1+\frac{k}{x})}^x\cdot {(x+k)}^k\cdot e^{-k}\}\\ & =e^k\cdot e^{-k}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(x+k)}^k\\ & =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(x+k)}^k\end{array}$$ $x=\frac{n}{2},k=\frac{1}{2}$ を代入すると、 $$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi }\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\sqrt{n\pi }}\cdot {\left(\frac{n+1}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\\ \text{(2)}& & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\end{array}$$

したがって、式 $(1),(2)$ より、 $$\begin{array}{r}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}\end{array}$$ これは、標準正規分布の確率密度関数であるから、$n\to \mathrm{\infty }$ のとき、$\mathrm{t}$分布は標準正規分布に収束する。 $◼$