本稿では、漸近的にt分布が標準正規分布へ収束することを証明しています。この事実は、応用上、非常に重要な事実であり、サンプルサイズが大きいときに用いられる解析手法を正当化するための基礎となります。
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【定理】t分布の標準正規分布への収束
【定理】
$\mathrm{t}$分布の標準正規分布への収束
T-Distribution Convergence to Standard Normal Distribution
確率変数 $T$ が自由度 $n$ の $\mathrm{t}$分布 \begin{align} \mathrm{t} \left(n\right) \end{align} に従うとき、 自由度を十分に大きくしていくと（$n\rightarrow\infty$）、$\mathrm{t}$分布は標準正規分布に収束する、すなわち、 \begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}{\mathrm{t} \left(n\right)}\rightarrow\mathrm{N} \left(0,1\right) \end{align} が成り立つ。
証明法：スターリングの公式を用いる方法
$\mathrm{t}$分布の確率密度関数 $f(x)$ は、 \begin{gather} f \left(x\right)=\frac{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)} \left(1+\frac{x^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}} \end{gather} これを \begin{gather} A= \left(1+\frac{x^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}\\ B=\frac{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)} \end{gather} とすると、 （i）$A$ について、$n\rightarrow\infty$ のときの極限を取ると、 \begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}{ \left(1+\frac{x^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}}&=\lim_{n\rightarrow\infty}{ \left(1+\frac{x^2}{n}\right)^{-\frac{n}{2}}} \cdot \left(1+\frac{x^2}{n}\right)^{-\frac{1}{2}}\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}{ \left\{ \left(1+\frac{x^2}{n}\right)^\frac{n}{x^2}\right\}^{-\frac{x^2}{2}}} \cdot \left(1+\frac{x^2}{n}\right)^{-\frac{1}{2}} \end{align} ネイピアの数の定義式 $\lim_{n\rightarrow\infty}{ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=e$ より、 \begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}{ \left(1+\frac{x^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}}=e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot 1=e^{-\frac{x^2}{2}}\tag{1} \end{align}
（i）$B$ について、スターリングの公式 $\lim_{x\rightarrow\infty}{\Gamma \left(x\right)}=\frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt x} \left(\frac{x}{e}\right)^x$ より、 \begin{align} \lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{\Gamma \left(x+k\right)}{\Gamma \left(x\right)}}&=\lim_{x\rightarrow\infty}{ \left\{\frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{x+k}} \left(x+k\right)^{x+k}e^{- \left(x+k\right)} \cdot \frac{\sqrt x}{\sqrt{2\pi}}x^{-x}e^x\right\}}\\ &=\lim_{x\rightarrow\infty}{ \left\{\frac{\sqrt x}{\sqrt{x+k}} \cdot \left(1+\frac{k}{x}\right)^x \cdot \left(x+k\right)^k \cdot e^{-k}\right\}}\\ &=e^k \cdot e^{-k}\lim_{x\rightarrow\infty}{ \left(x+k\right)^k}\\ &=\lim_{x\rightarrow\infty}{ \left(x+k\right)^k} \end{align} $x=\frac{n}{2},k=\frac{1}{2}$ を代入すると、 \begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}}&=\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{\sqrt{n\pi}} \cdot \left(\frac{n+1}{2}\right)^\frac{1}{2}}\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt n} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\tag{2} \end{align}
したがって、式 $(1),(2)$ より、 \begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}{f \left(x\right)}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} \end{align} これは、標準正規分布の確率密度関数であるから、$n\rightarrow\infty$ のとき、$\mathrm{t}$分布は標準正規分布に収束する。 $\blacksquare$
参考文献
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.155
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