デルタ法の証明

確率変数の列 $$\begin{array}{r}\mathit{X}=\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}\end{array}$$ について、 $\left\{a_n\right\}$ を $$\begin{array}{r}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }\end{array}$$ を満たす数列、$c$ を任意の定数とし、 次の $\left\{X_n\right\}$ の関数が分散 ${\sigma }^2<\mathrm{\infty }$ をもつ確率変数 $X$ に分布収束する $$\begin{array}{r}{a}_n(X_n-c)\stackrel{d}{\to }X\end{array}$$ とする。

このとき、連続微分可能な関数 $g(\cdot )$ に点 $c$ の付近で2回微分可能で、$g^{\prime }\left(c\right)\ne 0$ ならば、 $$\begin{array}{r}{a}_n\{g\left(X_n\right)-g\left(c\right)\}\stackrel{d}{\to }{g}^{\prime }\left(c\right)X\end{array}$$ が成り立つ。 特に、 $$\begin{array}{r}\sqrt{n}(X_n-\mu )\stackrel{d}{\to }\mathrm{N}(0,{\sigma }^2)\end{array}$$ のときは、 $$\begin{array}{r}\sqrt{n}\{g\left(X_n\right)-g\left(\mu \right)\}\stackrel{d}{\to }\mathrm{N}[0,{\left\{g^{\prime }\left(\mu \right)\right\}}^2{\sigma }^2]\end{array}$$ が成り立つ。

平均ベクトルと分散・共分散行列がそれぞれ $$\begin{array}{c}\mathit{\mu }=\left\{\begin{array}{c}{\mu }_1\\ {\mu }_2\\ ⋮\\ {\mu }_k\end{array}\right\}\\ \mathbf{\Sigma }=\left\{\begin{array}{cccc}{\sigma }_1^2& {\sigma }_{12}& \cdots & {\sigma }_{1k}\\ {\sigma }_{21}& {\sigma }_2^2& \cdots & {\sigma }_{2k}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\sigma }_{k1}& {\sigma }_{k2}& \cdots & {\sigma }_k^2\end{array}\right\}\end{array}$$ である $k$ 次元確率変数ベクトル $$\begin{array}{r}\mathit{X}=\left\{\begin{array}{c}{X}_1\\ X_2\\ ⋮\\ X_k\end{array}\right\}\end{array}$$ について、 $$\begin{array}{r}\sqrt{n}(\mathit{X}-\mathit{\mu })\stackrel{d}{\to }{\mathrm{N}}_{\mathrm{k}}(\mathbf{0},\mathbf{\Sigma })\end{array}$$ が成り立つとき、 $$\begin{array}{c}\mathit{Y}=g\left(\mathit{X}\right)\\ \left\{\begin{array}{c}{Y}_1\\ Y_2\\ ⋮\\ Y_m\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}{g}_1\left(\mathit{X}\right)\\ g_2\left(\mathit{X}\right)\\ ⋮\\ g_m\left(\mathit{X}\right)\end{array}\right\}\\ m\le k\end{array}$$ ただし、$i$ 番目の変換 $g_i\left(\mathit{X}\right)$ は $\mathit{X}$ の2回微分可能な関数 という変換をすると、 $$\begin{array}{c}\sqrt{n}\{g\left(\mathit{X}\right)-g\left(\mathit{\mu }\right)\}\stackrel{d}{\to }\mathrm{N}[0,{\left\{\mathit{H}\left(\mathit{\mu }\right)\right\}}^{\mathit{T}}\mathbf{\Sigma }\left\{\mathit{H}\left(\mathit{\mu }\right)\right\}]\\ E\left(\mathit{Y}\right)\cong g\left(\mathit{\mu }\right)\\ V\left(\mathit{Y}\right)\cong {\left\{\mathit{H}\left(\mathit{\mu }\right)\right\}}^{\mathit{T}}\mathbf{\Sigma }\left\{\mathit{H}\left(\mathit{\mu }\right)\right\}\end{array}$$ が成り立つ。 ここに、$\mathit{H}\left(\mathit{\mu }\right)$ は、$k\times m$ 行列 $$\begin{array}{c}\mathit{H}\left(\mathit{\mu }\right)=\left\{\begin{array}{cccc}\frac{\partial g_1\left(\mathit{\mu }\right)}{\partial x_1}& \frac{\partial g_1\left(\mathit{\mu }\right)}{\partial x_2}& \cdots & \frac{\partial g_m\left(\mathit{\mu }\right)}{\partial x_k}\\ \frac{\partial g_1\left(\mathit{\mu }\right)}{\partial x_2}& \frac{\partial g_2\left(\mathit{\mu }\right)}{\partial x_2}& \cdots & \frac{\partial g_m\left(\mathit{\mu }\right)}{\partial x_2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial g_1\left(\mathit{\mu }\right)}{\partial x_k}& \frac{\partial g_2\left(\mathit{\mu }\right)}{\partial x_k}& \cdots & \frac{\partial g_m\left(\mathit{\mu }\right)}{\partial x_k}\end{array}\right\}\end{array}$$ である。