デルタ法の証明

確率変数の列 \begin{align} \boldsymbol{X}= \left\{X_1,X_2, \cdots ,X_n\right\} \end{align} について、 $ \left\{a_n\right\}$ を \begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}{a_n}=\infty \end{align} を満たす数列、$c$ を任意の定数とし、 次の $ \left\{X_n\right\}$ の関数が分散 $\sigma^2 \lt \infty$ をもつ確率変数 $X$ に分布収束する \begin{align} a_n \left(X_n-c\right)\xrightarrow[]{d} X \end{align} とする。

このとき、連続微分可能な関数 $g \left( \cdot \right)$ に点 $c$ の付近で2回微分可能で、$g^\prime \left(c\right) \neq 0$ ならば、 \begin{align} a_n \left\{g \left(X_n\right)-g \left(c\right)\right\}\xrightarrow[]{d} g^\prime \left(c\right)X \end{align} が成り立つ。 特に、 \begin{align} \sqrt n \left(X_n-\mu\right)\xrightarrow[]{d}\mathrm{N} \left(0,\sigma^2\right) \end{align} のときは、 \begin{align} \sqrt n \left\{g \left(X_n\right)-g \left(\mu\right)\right\}\xrightarrow[]{d}\mathrm{N} \left[0, \left\{g^\prime \left(\mu\right)\right\}^2\sigma^2\right] \end{align} が成り立つ。

平均ベクトルと分散・共分散行列がそれぞれ \begin{gather} \boldsymbol{\mu}= \left\{\begin{matrix}\mu_1\\\mu_2\\\vdots\\\mu_k\\\end{matrix}\right\}\\ \boldsymbol{\Sigma}= \left\{\begin{matrix}\sigma_1^2&\sigma_{12}& \cdots &\sigma_{1k}\\\sigma_{21}&\sigma_2^2& \cdots &\sigma_{2k}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\sigma_{k1}&\sigma_{k2}& \cdots &\sigma_k^2\\\end{matrix}\right\} \end{gather} である $k$ 次元確率変数ベクトル \begin{align} \boldsymbol{X}= \left\{\begin{matrix}X_1\\X_2\\\vdots\\X_k\\\end{matrix}\right\} \end{align} について、 \begin{align} \sqrt n \left(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu}\right)\xrightarrow[]{d}\mathrm{N_k} \left(\boldsymbol{0},\boldsymbol{\Sigma}\right) \end{align} が成り立つとき、 \begin {gather} \boldsymbol{Y}=g \left(\boldsymbol{X}\right)\\ \left\{\begin{matrix}Y_1\\Y_2\\\vdots\\Y_m\\\end{matrix}\right\}= \left\{\begin{matrix}g_1 \left(\boldsymbol{X}\right)\\g_2 \left(\boldsymbol{X}\right)\\\vdots\\g_m \left(\boldsymbol{X}\right)\\\end{matrix}\right\}\\ m \le k \end {gather} ただし、$i$ 番目の変換 $g_i \left(\boldsymbol{X}\right)$ は $\boldsymbol{X}$ の2回微分可能な関数 という変換をすると、 \begin{gather} \sqrt n \left\{g \left(\boldsymbol{X}\right)-g \left(\boldsymbol{\mu}\right)\right\}\xrightarrow[]{d}\mathrm{N} \left[0, \left\{\boldsymbol{H} \left(\boldsymbol{\mu}\right)\right\}^\boldsymbol{T}\boldsymbol{\Sigma} \left\{\boldsymbol{H} \left(\boldsymbol{\mu}\right)\right\}\right]\\ E \left(\boldsymbol{Y}\right)\cong g \left(\boldsymbol{\mu}\right)\\ V \left(\boldsymbol{Y}\right)\cong \left\{\boldsymbol{H} \left(\boldsymbol{\mu}\right)\right\}^\boldsymbol{T}\boldsymbol{\Sigma} \left\{\boldsymbol{H} \left(\boldsymbol{\mu}\right)\right\} \end{gather} が成り立つ。 ここに、$\boldsymbol{H} \left(\boldsymbol{\mu}\right)$ は、$k\times m$ 行列 \begin{gather} \boldsymbol{H} \left(\boldsymbol{\mu}\right)= \left\{\begin{matrix}\frac{\partial g_1 \left(\boldsymbol{\mu}\right)}{\partial x_1}&\frac{\partial g_1 \left(\boldsymbol{\mu}\right)}{\partial x_2}& \cdots &\frac{\partial g_m \left(\boldsymbol{\mu}\right)}{\partial x_k}\\\frac{\partial g_1 \left(\boldsymbol{\mu}\right)}{\partial x_2}&\frac{\partial g_2 \left(\boldsymbol{\mu}\right)}{\partial x_2}& \cdots &\frac{\partial g_m \left(\boldsymbol{\mu}\right)}{\partial x_2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\frac{\partial g_1 \left(\boldsymbol{\mu}\right)}{\partial x_k}&\frac{\partial g_2 \left(\boldsymbol{\mu}\right)}{\partial x_k}& \cdots &\frac{\partial g_m \left(\boldsymbol{\mu}\right)}{\partial x_k}\\\end{matrix}\right\} \end{gather} である。