本稿では、マルコフの不等式とチェビシェフの不等式を証明しています。
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【定理】マルコフの不等式
【定理】
マルコフの不等式
Markov’s Inequality
非負値確率変数 $X$ について $E \left(X\right)$ が存在するとき、任意の正の数 $0 \lt \varepsilon$ に対して、 \begin{align} P(\varepsilon \le X) \le \frac{E(X)}{\varepsilon} \end{align} が成り立つ。
証明
（i）離散型確率分布の場合
期待値の定義式 $E \left(X\right)=\sum_{x=-\infty}^{\infty}{x \cdot f \left(x\right)}$ より、任意の正の数 $0 \lt \varepsilon$ に対して、
\begin{align}
E \left(X\right)=\sum_{x=-\infty}^{\varepsilon}{x \cdot f \left(x\right)}+\sum_{x=\varepsilon}^{\infty}{x \cdot f \left(x\right)}
\end{align}
$0 \le X,0 \le f \left(x\right)$ より、$0 \le \sum_{x=-\infty}^{\varepsilon}{x \cdot f \left(x\right)}$ となるので、
\begin{gather}
\sum_{x=\varepsilon}^{\infty}{x \cdot f \left(x\right)} \le \sum_{x=-\infty}^{\varepsilon}{x \cdot f \left(x\right)}+\sum_{x=\varepsilon}^{\infty}{x \cdot f \left(x\right)}=E \left(X\right)\\
\sum_{x=\varepsilon}^{\infty}{\varepsilon \cdot f \left(x\right)} \le \sum_{x=\varepsilon}^{\infty}{x \cdot f \left(x\right)} \le E \left(X\right)\\
\varepsilon\sum_{x=\varepsilon}^{\infty}f \left(x\right) \le E \left(X\right)\\
\end{gather}
確率関数の性質 $P \left(x \le X\right)=\sum_{x=-\infty}^{\infty}f \left(x\right)$ より、
\begin{align}
\varepsilon \cdot P \left(\varepsilon \le X\right) \le E \left(X\right)
\end{align}
$0 \lt \varepsilon$ より、
\begin{align}
P \left(\varepsilon \le X\right) \le \frac{E \left(X\right)}{\varepsilon}
\end{align}
$\blacksquare$
（ii）連続型確率分布の場合
期待値の定義式 $E \left(X\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{x \cdot f \left(x\right)dx}$ より、任意の正の数 $0 \lt \varepsilon$ に対して、
\begin{align}
E \left(X\right)=\int_{-\infty}^{\varepsilon}{x \cdot f \left(x\right)dx}+\int_{\varepsilon}^{\infty}{x \cdot f \left(x\right)dx}
\end{align}
$0 \le X,0 \le f \left(x\right)$ より、$0 \le \int_{-\infty}^{\varepsilon}{x \cdot f \left(x\right)}$ となるので、
\begin{gather}
\int_{\varepsilon}^{\infty}{x \cdot f \left(x\right)dx} \le \int_{-\infty}^{\varepsilon}{x \cdot f \left(x\right)dx}+\int_{\varepsilon}^{\infty}{x \cdot f \left(x\right)dx}=E \left(X\right)\\
\int_{\varepsilon}^{\infty}{\varepsilon \cdot f \left(x\right)dx} \le \int_{\varepsilon}^{\infty}{x \cdot f \left(x\right)dx} \le E \left(X\right)\\
\varepsilon\int_{\varepsilon}^{\infty}f \left(x\right)dx \le E \left(X\right)
\end{gather}
確率密度関数の性質 $P \left(x \le X\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f \left(x\right)dx$ より、
\begin{align}
\varepsilon \cdot P \left(\varepsilon \le X\right) \le E \left(X\right)
\end{align}
$0 \lt \varepsilon$ より、
\begin{align}
P \left(\varepsilon \le X\right) \le \frac{E \left(X\right)}{\varepsilon}
\end{align}
$\blacksquare$
【定理】チェビシェフの不等式
【定理】
チェビシェフの不等式
Chebyshev’s Inequality
確率変数 $X$ が平均 $E \left(X\right)=\mu$ と 分散 $V \left(X\right)=\sigma^2$ をもつとき、任意の正の数 $0 \lt \varepsilon$ に対して、 \begin{align} P \left( \left|X-\mu\right| \geq \varepsilon\right) \le \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2} \end{align} が成り立つ。
証明
マルコフの不等式 $P \left(\epsilon \le Y\right) \le \frac{E \left(Y\right)}{\varepsilon}$ において、$Y= \left\{X-E \left(X\right)\right\}^2$ とおくと、 \begin{align} P \left(\epsilon \le \left\{X-E \left(X\right)\right\}^2\right) \le \frac{E \left[ \left\{X-E \left(X\right)\right\}^2\right]}{\varepsilon} \end{align} 分散の定義式 $V \left(X\right)=E \left[ \left\{X-E \left(X\right)\right\}^2\right]$ より、 \begin{align} P \left(\epsilon \le \left\{X-E \left(X\right)\right\}^2\right) \le \frac{\sigma^2}{\varepsilon} \end{align} $\varepsilon=\sqrt\epsilon$ とすると、 \begin{align} P \left(\varepsilon \le \left|X-E \left(X\right)\right|\right) \le \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2} \end{align} $\blacksquare$
参考文献
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.83-85
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