マルコフの不等式とチェビシェフの不等式の証明

（i）離散型確率分布の場合
期待値の定義式 $E\left(X\right)=\sum _{x=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)$ より、任意の正の数 $0<\epsilon$ に対して、 $$\begin{array}{r}E\left(X\right)=\sum _{x=-\mathrm{\infty }}^{\epsilon }x\cdot f\left(x\right)+\sum _{x=\epsilon }^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)\end{array}$$ $0\le X,0\le f\left(x\right)$ より、$0\le \sum _{x=-\mathrm{\infty }}^{\epsilon }x\cdot f\left(x\right)$ となるので、 $$\begin{array}{c}\sum _{x=\epsilon }^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)\le \sum _{x=-\mathrm{\infty }}^{\epsilon }x\cdot f\left(x\right)+\sum _{x=\epsilon }^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)=E\left(X\right)\\ \sum _{x=\epsilon }^{\mathrm{\infty }}\epsilon \cdot f\left(x\right)\le \sum _{x=\epsilon }^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)\le E\left(X\right)\\ \epsilon \sum _{x=\epsilon }^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)\le E\left(X\right)\end{array}$$ 確率関数の性質 $P(x\le X)=\sum _{x=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{r}\epsilon \cdot P(\epsilon \le X)\le E\left(X\right)\end{array}$$ $0<\epsilon$ より、 $$\begin{array}{r}P(\epsilon \le X)\le \frac{E\left(X\right)}{\epsilon }\end{array}$$ $◼$

（ii）連続型確率分布の場合
期待値の定義式 $E\left(X\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)dx$ より、任意の正の数 $0<\epsilon$ に対して、 $$\begin{array}{r}E\left(X\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\epsilon }x\cdot f\left(x\right)dx+{\int }_{\epsilon }^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)dx\end{array}$$ $0\le X,0\le f\left(x\right)$ より、$0\le {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\epsilon }x\cdot f\left(x\right)$ となるので、 $$\begin{array}{c}{\int }_{\epsilon }^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)dx\le {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\epsilon }x\cdot f\left(x\right)dx+{\int }_{\epsilon }^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)dx=E\left(X\right)\\ {\int }_{\epsilon }^{\mathrm{\infty }}\epsilon \cdot f\left(x\right)dx\le {\int }_{\epsilon }^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)dx\le E\left(X\right)\\ \epsilon {\int }_{\epsilon }^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx\le E\left(X\right)\end{array}$$ 確率密度関数の性質 $P(x\le X)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx$ より、 $$\begin{array}{r}\epsilon \cdot P(\epsilon \le X)\le E\left(X\right)\end{array}$$ $0<\epsilon$ より、 $$\begin{array}{r}P(\epsilon \le X)\le \frac{E\left(X\right)}{\epsilon }\end{array}$$ $◼$

マルコフの不等式 $P(ϵ\le Y)\le \frac{E\left(Y\right)}{\epsilon }$ において、$Y={\{X-E\left(X\right)\}}^2$ とおくと、 $$\begin{array}{r}P(ϵ\le {\{X-E\left(X\right)\}}^2)\le \frac{E\left[{\{X-E\left(X\right)\}}^2\right]}{\epsilon }\end{array}$$ 分散の定義式 $V\left(X\right)=E\left[{\{X-E\left(X\right)\}}^2\right]$ より、 $$\begin{array}{r}P(ϵ\le {\{X-E\left(X\right)\}}^2)\le \frac{{\sigma }^2}{\epsilon }\end{array}$$ $\epsilon =\sqrt{ϵ}$ とすると、 $$\begin{array}{r}P(\epsilon \le |X-E\left(X\right)|)\le \frac{{\sigma }^2}{{\epsilon }^2}\end{array}$$ $◼$