指数分布のパラメータに関する検定の導出

本稿では、指数分布のパラメータに関する検定を導出しています。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

データの形式

確率変数 $X$ が指数分布 $$\begin{array}{r}X\sim \mathrm{Ex}\left(\lambda \right)\end{array}$$ に従い、 この分布からの大きさ $n$ の無作為標本を $$\begin{array}{r}\mathit{X}=\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}\end{array}$$ 標本平均を $$\begin{array}{r}\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\end{array}$$ とする。

【定理】指数分布のパラメータに関する検定

Step.1 尤度比の算出

指数分布のパラメータの最尤推定量は、 $$\begin{array}{r}\hat{\lambda }=\frac{n}{\sum _{i=1}^n{X}_i}\end{array}$$ 両仮説の尤度比 $\mathrm{\Lambda }$ を計算すると、 $$\begin{array}{rl}\mathrm{\Lambda }& =\frac{L(\lambda ={\lambda }_0;\mathit{x})}{L(\lambda =\hat{\lambda };\mathit{x})}\\ & =\frac{\prod _{i=1}^{n}f(x_i;\lambda ={\lambda }_0)}{\prod _{i=1}^{n}f(x_i;\lambda =\hat{\lambda })}\\ & =\frac{\prod _{i=1}^n{\lambda }_0{e}^{-{\lambda }_0{x}_i}}{\prod _{i=1}^n\hat{\lambda }{e}^{-\hat{\lambda }{x}_i}}\\ & =\frac{{\lambda }_0^n\exp (-{\lambda }_0\sum _{i=1}^n{X}_i)}{{\hat{\lambda }}^n\exp (-\hat{\lambda }\sum _{i=1}^n{X}_i)}\\ & ={\left(\frac{{\lambda }_0}{\hat{\lambda }}\right)}^n\exp (n-n{\lambda }_0\overline{X})\\ & ={\left({\lambda }_0\overline{X}\right)}^n\exp (n-n{\lambda }_0\overline{X})\\ & =h\left(\overline{X}\right)\end{array}$$ したがって、検定統計量 $T\left(\mathit{X}\right)=\overline{X}$ が考えられる。

Step.2 検定統計量の対立仮説・帰無仮説における分布

（i）対立仮説における分布
指数分布とガンマ分布の関係 $\mathrm{Ex}\left(\lambda \right)=\mathrm{Ga}(1,\lambda )$ より、 $$\begin{array}{r}X\sim \mathrm{Ga}(1,\lambda )\end{array}$$ $W=X_1+X_2+\cdots +X_n=n\overline{X}$ とすると、ガンマ分布の再生性より、 $$\begin{array}{r}W\sim \mathrm{Ga}(n,\lambda )\end{array}$$ （ii）帰無仮説における分布
帰無仮説 $H_0:\lambda ={\lambda }_0$ における分布は、 $$\begin{array}{r}W\sim \mathrm{Ga}(n,{\lambda }_0)\end{array}$$

Step.3 検定関数と棄却域の型

（I）両側検定
ネイマン・ピアソンの基本定理により、次の棄却域と検定関数 $\phi (\theta ;\mathit{x})$ をもつ検定が漸近的に有意水準を $\alpha$ とする一様最強力不偏検定となる。
$$\begin{array}{}\text{(1)}& \phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}a\le T\left(\mathit{X}\right)\le b& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ T\left(\mathit{X}\right)<a\mathrm{or}b<T\left(\mathit{X}\right)& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ （II）片側検定
ネイマン・ピアソンの基本定理と単調尤度比の原理により、次の棄却域と検定関数 $\phi (\theta ;\mathit{x})$ をもつ検定が漸近的に有意水準を $\alpha$ とする一様最強力検定となる。
検定A $$\begin{array}{}\text{(2)}& \phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}T\left(\mathit{X}\right)<a& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ a\le T\left(\mathit{X}\right)& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ 検定B $$\begin{array}{}\text{(3)}& \phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}b<T\left(\mathit{X}\right)& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ T\left(\mathit{X}\right)\le b& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$

Step.4 棄却域の設定

パーセント点の定義から、 $$\begin{array}{r}P\{{\chi }_{1-0.5\alpha }^2\left(2n\right)\le {\chi }_0^2\le {\chi }_{0.5\alpha }^2\left(2n\right)\}=1-\alpha \end{array}$$ したがって、式 $(1)$ において、$a={\chi }_{1-0.5\alpha }^2\left(2n\right),b={\chi }_{0.5\alpha }^2\left(2n\right)$ とすると、 $$\begin{array}{c}\phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}{\chi }_{1-0.5\alpha }^2\left(2n\right)\le {\chi }_0^2\le {\chi }_{0.5\alpha }^2\left(2n\right)& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ {\chi }_0^2\le {\chi }_{1-0.5\alpha }^2\left(2n\right)\mathrm{or}{\chi }_{0.5\alpha }^2\left(2n\right)\le {\chi }_0^2& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ （II-A）片側検定A
パーセント点の定義より、 $$\begin{array}{r}P\{{\chi }_0^2\le {\chi }_{\alpha }^2\left(2n\right)\}=1-\alpha \end{array}$$ したがって、式 $(2)$ において、$a={\chi }_{\alpha }^2\left(2n\right)$ とすると、
$$\begin{array}{r}\phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}{\chi }_0^2<{\chi }_{\alpha }^2\left(2n\right)& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ {\chi }_{\alpha }^2\left(2n\right)\le {\chi }_0^2& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ （II-B）片側検定B
パーセント点の定義より、 $$\begin{array}{r}P\{{\chi }_{1-\alpha }^2\left(2n\right)\le {\chi }_0^2\}=1-\alpha \end{array}$$ したがって、式 $(3)$ において、$b={\chi }_{1-\alpha }^2\left(2n\right)$ とすると、
$$\begin{array}{r}\phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}{\chi }_{1-\alpha }^2\left(2n\right)<{\chi }_0^2& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ {\chi }_0^2\le {\chi }_{1-\alpha }^2\left(2n\right)& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ $◼$

参考文献

• 小寺 平治 著. 数理統計：明解演習. 共立出版, 1986, p.128, p.138 ゼミナール6.1, p.180
• 藤澤 洋徳 著. 確率と統計. 朝倉書店, 2006, p.162-163 演習問題 B11.5

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