ヘルダーの不等式の証明

（i）まずは、次の補題を証明する。
［補題］任意の正の実数 $0<a,0<b$ に対して、 $$\begin{array}{r}ab\le \frac{1}{p}{a}^p+\frac{1}{q}{b}^q\end{array}$$ が成り立つ。 $b$ を定数とみなして、 $$\begin{array}{r}g\left(a\right)=\frac{1}{p}{a}^p+\frac{1}{q}{b}^q-ab\end{array}$$ とおいて、$g\left(a\right)$ を最小にする $a$ を求める。 $g\left(a\right)$ は下に凸な関数なので、$g^{\prime }\left(a\right)=0$ を満たす $a$ を求めればよい。すなわち、 $$\begin{array}{c}{g}^{\prime }\left(a\right)=a^{p-1}-b=0\\ a=b^{\frac{1}{p-1}}\end{array}$$ よって、 $$\begin{array}{c}g\left(a\right)\ge g\left(b^{\frac{1}{p-1}}\right)=\frac{1}{p}{b}^{\frac{p}{p-1}}+\frac{1}{q}{b}^q-b^{\frac{1}{p-1}}\cdot b\\ g\left(a\right)\ge (1-\frac{1}{p})b^{\frac{p}{p-1}}+\frac{1}{q}{b}^q=(\frac{1}{p}+\frac{1}{q})b^q-b^q=0\end{array}$$ ここで、$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ を変形すると、 $$\begin{array}{c}p+q=pq\\ p=pq-q\\ p=(p-1)q\\ \frac{p}{p-1}=q\end{array}$$ よって、 $$\begin{array}{r}g\left(a\right)\ge (1-\frac{1}{p})b^{\frac{p}{p-1}}+\frac{1}{q}{b}^q=\frac{1}{q}{b}^q-\frac{1}{q}{b}^q=0\end{array}$$ $◼$

（ii）続いて、当初の命題を証明する。
（a）$E\left[\left|X\right|\right]=0$ または、$E\left[\left|Y\right|\right]=0$ のとき、$E\left[\left|XY\right|\right]=0$ となるので、与式は成り立つ。
（b）$0<E\left[\left|X\right|\right],0<E\left[\left|Y\right|\right]$ のとき、補題において、 $$\begin{array}{r}a=\frac{\left|X\right|}{{\left\{E\left[{\left|X\right|}^p\right]\right\}}^{\frac{1}{p}}}b=\frac{\left|Y\right|}{{\left\{E\left[{\left|Y\right|}^q\right]\right\}}^{\frac{1}{q}}}\end{array}$$ とすると、 $$\begin{array}{r}\frac{\left|X\right|}{{\left\{E\left[{\left|X\right|}^p\right]\right\}}^{\frac{1}{p}}}\cdot \frac{\left|Y\right|}{{\left\{E\left[{\left|Y\right|}^q\right]\right\}}^{\frac{1}{q}}}\le \frac{1}{p}\frac{{\left|X\right|}^p}{\left\{E\left[{\left|X\right|}^p\right]\right\}}+\frac{1}{q}\frac{{\left|Y\right|}^q}{\left\{E\left[{\left|Y\right|}^q\right]\right\}}\end{array}$$ 両辺の期待値を取ると、
右辺について、 $$\begin{array}{rl}E[\frac{1}{p}\frac{{\left|X\right|}^p}{\left\{E\left[{\left|X\right|}^p\right]\right\}}+\frac{1}{q}\frac{{\left|Y\right|}^q}{\left\{E\left[{\left|Y\right|}^q\right]\right\}}]& =\frac{1}{p}\frac{E\left[{\left|X\right|}^p\right]}{E\left[{\left|X\right|}^p\right]}+\frac{1}{q}\frac{E\left[{\left|Y\right|}^q\right]}{E\left[{\left|Y\right|}^q\right]}\\ & =\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\\ & =1\end{array}$$ 左辺について、 $$\begin{array}{r}E\left[\frac{\left|X\right|\left|Y\right|}{{\left\{E\left[{\left|X\right|}^p\right]\right\}}^{\frac{1}{p}}{\left\{E\left[{\left|Y\right|}^q\right]\right\}}^{\frac{1}{q}}}\right]=\frac{E\left[\left|X\right|\left|Y\right|\right]}{{\left\{E\left[{\left|X\right|}^p\right]\right\}}^{\frac{1}{p}}{\left\{E\left[{\left|Y\right|}^q\right]\right\}}^{\frac{1}{q}}}\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{c}\frac{E\left[\left|X\right|\left|Y\right|\right]}{{\left\{E\left[{\left|X\right|}^p\right]\right\}}^{\frac{1}{p}}{\left\{E\left[{\left|Y\right|}^q\right]\right\}}^{\frac{1}{q}}}\le 1\\ E\left[\left|X\right|\left|Y\right|\right]\le {\left\{E\left[{\left|X\right|}^p\right]\right\}}^{\frac{1}{p}}{\left\{E\left[{\left|Y\right|}^q\right]\right\}}^{\frac{1}{q}}\end{array}$$ $◼$