ヘルダーの不等式の証明

（i）まずは、次の補題を証明する。
［補題］任意の正の実数 $0 \lt a,0 \lt b$ に対して、 \begin{align} ab \le \frac{1}{p}a^p+\frac{1}{q}b^q \end{align} が成り立つ。 $b$ を定数とみなして、 \begin{align} g \left(a\right)=\frac{1}{p}a^p+\frac{1}{q}b^q-ab \end{align} とおいて、$g \left(a\right)$ を最小にする $a$ を求める。 $g \left(a\right)$ は下に凸な関数なので、$g^\prime \left(a\right)=0$ を満たす $a$ を求めればよい。すなわち、 \begin{gather} g^\prime \left(a\right)=a^{p-1}-b=0\\ a=b^\frac{1}{p-1} \end{gather} よって、 \begin{gather} g \left(a\right) \geq g \left(b^\frac{1}{p-1}\right)=\frac{1}{p}b^\frac{p}{p-1}+\frac{1}{q}b^q-b^\frac{1}{p-1} \cdot b\\ g \left(a\right) \geq \left(1-\frac{1}{p}\right)b^\frac{p}{p-1}+\frac{1}{q}b^q= \left(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\right)b^q-b^q=0 \end{gather} ここで、$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ を変形すると、 \begin{gather} p+q=pq\\ p=pq-q\\ p= \left(p-1\right)q\\ \frac{p}{p-1}=q \end{gather} よって、 \begin{align} g \left(a\right) \geq \left(1-\frac{1}{p}\right)b^\frac{p}{p-1}+\frac{1}{q}b^q=\frac{1}{q}b^q-\frac{1}{q}b^q=0 \end{align} $\blacksquare$

（ii）続いて、当初の命題を証明する。
（a）$E \left[ \left|X\right|\right]=0$ または、$E \left[ \left|Y\right|\right]=0$ のとき、$E \left[ \left|XY\right|\right]=0$ となるので、与式は成り立つ。
（b）$0 \lt E \left[ \left|X\right|\right],0 \lt E \left[ \left|Y\right|\right]$ のとき、補題において、 \begin{align} a=\frac{ \left|X\right|}{ \left\{E \left[ \left|X\right|^p\right]\right\}^\frac{1}{p}} \quad b=\frac{ \left|Y\right|}{ \left\{E \left[ \left|Y\right|^q\right]\right\}^\frac{1}{q}} \end{align} とすると、 \begin{align} \frac{ \left|X\right|}{ \left\{E \left[ \left|X\right|^p\right]\right\}^\frac{1}{p}} \cdot \frac{ \left|Y\right|}{ \left\{E \left[ \left|Y\right|^q\right]\right\}^\frac{1}{q}} \le \frac{1}{p}\frac{ \left|X\right|^p}{ \left\{E \left[ \left|X\right|^p\right]\right\}}+\frac{1}{q}\frac{ \left|Y\right|^q}{ \left\{E \left[ \left|Y\right|^q\right]\right\}} \end{align} 両辺の期待値を取ると、
右辺について、 \begin{align} E \left[\frac{1}{p}\frac{ \left|X\right|^p}{ \left\{E \left[ \left|X\right|^p\right]\right\}}+\frac{1}{q}\frac{ \left|Y\right|^q}{ \left\{E \left[ \left|Y\right|^q\right]\right\}}\right]&=\frac{1}{p}\frac{E \left[ \left|X\right|^p\right]}{E \left[ \left|X\right|^p\right]}+\frac{1}{q}\frac{E \left[ \left|Y\right|^q\right]}{E \left[ \left|Y\right|^q\right]}\\ &=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\\ &=1 \end{align} 左辺について、 \begin{align} E \left[\frac{ \left|X\right| \left|Y\right|}{ \left\{E \left[ \left|X\right|^p\right]\right\}^\frac{1}{p} \left\{E \left[ \left|Y\right|^q\right]\right\}^\frac{1}{q}}\right]=\frac{E \left[ \left|X\right| \left|Y\right|\right]}{ \left\{E \left[ \left|X\right|^p\right]\right\}^\frac{1}{p} \left\{E \left[ \left|Y\right|^q\right]\right\}^\frac{1}{q}} \end{align} したがって、 \begin{gather} \frac{E \left[ \left|X\right| \left|Y\right|\right]}{ \left\{E \left[ \left|X\right|^p\right]\right\}^\frac{1}{p} \left\{E \left[ \left|Y\right|^q\right]\right\}^\frac{1}{q}} \le 1\\ E \left[ \left|X\right| \left|Y\right|\right] \le \left\{E \left[ \left|X\right|^p\right]\right\}^\frac{1}{p} \left\{E \left[ \left|Y\right|^q\right]\right\}^\frac{1}{q} \end{gather} $\blacksquare$