F分布の期待値と分散の導出

（i）期待値
期待値の定義式 $E\left(X\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)dx$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{0}x\cdot 0dx+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)dx\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}x\cdot \frac{x^{\frac{m}{2}-1}}{B(\frac{m}{2},\frac{n}{2})\cdot {(1+\frac{m}{n}x)}^{\frac{m+n}{2}}}{\left(\frac{m}{n}\right)}^{\frac{m}{2}}dx\\ & =\frac{1}{B(\frac{m}{2},\frac{n}{2})}{\left(\frac{m}{n}\right)}^{\frac{m}{2}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{\frac{m}{2}}}{{(1+\frac{m}{n}x)}^{\frac{m+n}{2}}}dx\end{array}$$ ここで、以下のように変数変換すると、 $$\begin{array}{c}{(1+\frac{m}{n}x)}^{-1}=u\iff x=\frac{n}{m}(\frac{1}{u}-1)\\ \frac{dx}{du}=-\frac{n}{m}\frac{1}{u^2}\Rightarrow dx=-\frac{n}{m}\frac{1}{u^2}du\\ x:0\to \mathrm{\infty }\Rightarrow u:1\to 0\end{array}$$ となるので、 置換積分法により、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& =\frac{1}{B(\frac{m}{2},\frac{n}{2})}{\left(\frac{m}{n}\right)}^{\frac{m}{2}}{\int }_1^0{\left\{\frac{n}{m}(\frac{1}{u}-1)\right\}}^{\frac{m}{2}}{u}^{\frac{m+n}{2}}(-\frac{n}{m}\frac{1}{u^2})du\\ & =\frac{1}{B(\frac{m}{2},\frac{n}{2})}{\left(\frac{m}{n}\right)}^{\frac{m}{2}}{\left(\frac{n}{m}\right)}^{\frac{m}{2}+1}{\int }_0^1{(\frac{1}{u}-1)}^{\frac{m}{2}}{u}^{\frac{m+n}{2}-2}du\\ & =\frac{1}{B(\frac{m}{2},\frac{n}{2})}\cdot \frac{n}{m}{\int }_0^1{(\frac{1}{u}-1)}^{\frac{m}{2}}{u}^{\frac{m+n}{2}-2}du\\ & =\frac{1}{B(\frac{m}{2},\frac{n}{2})}\cdot \frac{n}{m}{\int }_0^1{u}^{\frac{n}{2}-2}{(1-u)}^{\frac{m}{2}}du\end{array}$$ ベータ関数の定義式 $B(\alpha ,\beta )={\int }_0^1{x}^{\alpha -1}{(1-x)}^{\beta -1}dx$ より、 $$\begin{array}{rl}{\int }_0^1{u}^{\frac{n}{2}-2}{(1-u)}^{\frac{m}{2}}du& ={\int }_0^1{u}^{(\frac{n}{2}-1)-1}{(1-u)}^{(\frac{m}{2}+1)-1}du\\ & =B(\frac{n}{2}-1,\frac{m}{2}+1)\end{array}$$ ベータ関数の性質 $$\begin{array}{r}B(\alpha ,\beta +1)=\frac{\beta }{\alpha }B(\alpha +1,\beta )\end{array}$$ より、 $$\begin{array}{r}\alpha =\frac{n}{2}-1\beta =\frac{m}{2}\end{array}$$ とすると、 $$\begin{array}{r}B(\frac{n}{2}-1,\frac{m}{2}+1)=\frac{\frac{m}{2}}{\frac{n}{2}-1}B(\frac{n}{2},\frac{m}{2})=\frac{m}{n-2}B(\frac{n}{2},\frac{m}{2})\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& =\frac{1}{B(\frac{m}{2},\frac{n}{2})}\cdot \frac{n}{m}\cdot \frac{m}{n-2}B(\frac{n}{2},\frac{m}{2})\\ & =\frac{n}{n-2}\end{array}$$ $\mathrm{F}$分布の定義域は、$0\le x$ であることから、$0\le E\left(X\right)$ となるので、 $$\begin{array}{c}\begin{array}{cc}E\left(X\right)={\displaystyle \frac{n}{n-2}}& 2<n\end{array}\\ \begin{array}{cc}V\left(X\right)={\displaystyle \frac{2n^2(m+n-2)}{m{(n-2)}^2(n-4)}}& 4<n\end{array}\end{array}$$ $◼$

（ii）分散
2乗の期待値の定義式 $E\left(X^2\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^2\cdot f\left(x\right)dx$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X^2\right)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{0}x\cdot 0dx+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^2\cdot f\left(x\right)dx\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^2\cdot \frac{x^{\frac{m}{2}-1}}{B(\frac{m}{2},\frac{n}{2})\cdot {(1+\frac{m}{n}x)}^{\frac{m+n}{2}}}{\left(\frac{m}{n}\right)}^{\frac{m}{2}}dx\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{\frac{m}{2}+1}}{B(\frac{m}{2},\frac{n}{2})\cdot {(1+\frac{m}{n}x)}^{\frac{m+n}{2}}}{\left(\frac{m}{n}\right)}^{\frac{m}{2}}dx\end{array}$$ （i）と同様の変数変換を行うと、置換積分法により、 $$\begin{array}{rl}E\left(X^2\right)& =\frac{1}{B(\frac{m}{2},\frac{n}{2})}{\left(\frac{m}{n}\right)}^{\frac{m}{2}}{\int }_1^0{\left\{\frac{n}{m}(\frac{1}{u}-1)\right\}}^{\frac{m}{2}+1}{u}^{\frac{m+n}{2}}(-\frac{n}{m}\frac{1}{u^2})du\\ & =\frac{1}{B(\frac{m}{2},\frac{n}{2})}{\left(\frac{m}{n}\right)}^{\frac{m}{2}}{\left(\frac{n}{m}\right)}^{\frac{m}{2}+2}{\int }_0^1{(\frac{1}{u}-1)}^{\frac{m}{2}+1}{u}^{\frac{m+n}{2}-2}du\\ & =\frac{1}{B(\frac{m}{2},\frac{n}{2})}\cdot \frac{n^2}{m^2}{\int }_0^1{(\frac{1}{u}-1)}^{\frac{m}{2}+1}{u}^{\frac{m+n}{2}-2}du\\ & =\frac{1}{B(\frac{m}{2},\frac{n}{2})}\cdot \frac{n^2}{m^2}{\int }_0^1{u}^{\frac{n}{2}-3}{(1-u)}^{\frac{m}{2}+1}du\\ & =\frac{1}{B(\frac{m}{2},\frac{n}{2})}\cdot \frac{n^2}{m^2}{\int }_0^1{u}^{(\frac{n}{2}-2)-1}{(1-u)}^{(\frac{m}{2}+2)-1}du\end{array}$$ ベータ関数の定義式 $B(\alpha ,\beta )={\int }_0^1{x}^{\alpha -1}{(1-x)}^{\beta -1}dx$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X^2\right)& =\frac{1}{B(\frac{m}{2},\frac{n}{2})}\cdot \frac{n^2}{m^2}\cdot B(\frac{n}{2}-2,\frac{m}{2}+2)\end{array}$$ ベータ関数の性質 $$\begin{array}{r}B(\alpha ,\beta +1)=\frac{\beta }{\alpha }B(\alpha +1,\beta )\end{array}$$ より、 $$\begin{array}{r}\alpha =\frac{n}{2}-1\beta =\frac{m}{2}\end{array}$$ とすると、 $$\begin{array}{rl}B(\frac{n}{2}-2,\frac{m}{2}+2)& =\frac{\frac{m}{2}+1}{\frac{n}{2}-2}B(\frac{n}{2}-1,\frac{m}{2}+1)\\ & =\frac{m+2}{n-4}B(\frac{n}{2}-1,\frac{m}{2}+1)\\ & =\frac{m+2}{n-4}\cdot \frac{m}{n-2}B(\frac{n}{2},\frac{m}{2})\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{rl}E\left(X^2\right)& =\frac{1}{B(\frac{m}{2},\frac{n}{2})}\cdot \frac{n^2}{m^2}\cdot \frac{m+2}{n-4}\cdot \frac{m}{n-2}B(\frac{n}{2},\frac{m}{2})\\ & =\frac{(m+2)n^2}{m(n-2)(n-4)}\end{array}$$ 分散の公式 $V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(X\right)& =\frac{n^2(m+2)}{m(n-2)(n-4)}-\frac{n^2}{{(n-2)}^2}\\ & =\frac{n^2\{(m+2)(n-2)-m(n-4)\}}{m{(n-2)}^2(n-4)}\\ & =\frac{n^2(mn-2m+2n-4-mn+4m)}{m{(n-2)}^2(n-4)}\\ & =\frac{n^2(2m+2n-4)}{m{(n-2)}^2(n-4)}\\ & =\frac{2n^2(m+n-2)}{m{(n-2)}^2(n-4)}\end{array}$$ $0<V\left(X\right)$ である必要があるので、 $$\begin{array}{c}\begin{array}{cc}V\left(X\right)={\displaystyle \frac{2n^2(m+n-2)}{m{(n-2)}^2(n-4)}}& 4<n\end{array}\end{array}$$ $◼$

$X,Y$ を互いに独立に自由度 $m$ と $n$ の ${\chi }^2$分布 $$\begin{array}{r}X\sim {\chi }^2\left(m\right)Y\sim {\chi }^2\left(n\right)\end{array}$$ に従う確率変数とすると、 ${\chi }^2$分布の期待値の公式より、 $$\begin{array}{c}E\left(X\right)=mE\left(X^2\right)=m^2+2m\\ E\left(\frac{1}{Y}\right)=\frac{1}{n-2}E\left(\frac{1}{Y^2}\right)=\frac{1}{(n-2)(n-4)}\end{array}$$ 独立な確率変数の期待値の性質 $E\left(XY\right)=E\left(X\right)E\left(Y\right)$ より、
（i）期待値 $$\begin{array}{rl}E\left(F\right)& =E\left(\frac{nX}{mY}\right)\\ & =\frac{n}{m}E\left(X\right)\cdot E\left(\frac{1}{Y}\right)\\ & =\frac{n}{m}\cdot m\cdot \frac{1}{n-2}\\ & =\frac{1}{n-2}\end{array}$$ $◼$ （ii）分散
$$\begin{array}{rl}E\left(F^2\right)& =E\left(\frac{n^2{X}^2}{m^2{Y}^2}\right)\\ & =\frac{n^2}{m^2}E\left(X^2\right)\cdot E\left(\frac{1}{Y^2}\right)\\ & =\frac{n^2}{m^2}\cdot m(m+2)\cdot \frac{1}{(n-2)(n-4)}\\ & =\frac{(m+2)n^2}{m(n-2)(n-4)}\end{array}$$ 分散の公式 $V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(X\right)& =\frac{n^2(m+2)}{m(n-2)(n-4)}-\frac{n^2}{{(n-2)}^2}\\ & =\frac{2n^2(m+n-2)}{m{(n-2)}^2(n-4)}\end{array}$$ $◼$