F分布の期待値と分散の導出

（i）期待値
期待値の定義式 $E \left(X\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{x \cdot f \left(x\right)dx}$ より、 \begin{align} E \left(X\right)&=\int_{-\infty}^{0}{x \cdot 0dx}+\int_{0}^{\infty}{x \cdot f \left(x\right)dx}\\ &=\int_{0}^{\infty}{x \cdot \frac{x^{\frac{m}{2}-1}}{B \left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right) \cdot \left(1+\frac{m}{n}x\right)^\frac{m+n}{2}} \left(\frac{m}{n}\right)^\frac{m}{2}dx}\\ &=\frac{1}{B \left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)} \left(\frac{m}{n}\right)^\frac{m}{2}\int_{0}^{\infty}{\frac{x^\frac{m}{2}}{ \left(1+\frac{m}{n}x\right)^\frac{m+n}{2}}dx}\\ \end{align} ここで、以下のように変数変換すると、 \begin{gather} \left(1+\frac{m}{n}x\right)^{-1}=u\Leftrightarrow x=\frac{n}{m} \left(\frac{1}{u}-1\right)\\ \frac{dx}{du}=-\frac{n}{m}\frac{1}{u^2}\Rightarrow dx=-\frac{n}{m}\frac{1}{u^2}du\\ x:0\rightarrow\infty \quad \Rightarrow \quad u:1\rightarrow0 \end{gather} となるので、 置換積分法により、 \begin{align} E \left(X\right)&=\frac{1}{B \left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)} \left(\frac{m}{n}\right)^\frac{m}{2}\int_{1}^{0}{ \left\{\frac{n}{m} \left(\frac{1}{u}-1\right)\right\}^\frac{m}{2}u^\frac{m+n}{2} \left(-\frac{n}{m}\frac{1}{u^2}\right)du}\\ &=\frac{1}{B \left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)} \left(\frac{m}{n}\right)^\frac{m}{2} \left(\frac{n}{m}\right)^{\frac{m}{2}+1}\int_{0}^{1}{ \left(\frac{1}{u}-1\right)^\frac{m}{2}u^{\frac{m+n}{2}-2}du}\\ &=\frac{1}{B \left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)} \cdot \frac{n}{m}\int_{0}^{1}{ \left(\frac{1}{u}-1\right)^\frac{m}{2}u^{\frac{m+n}{2}-2}du}\\ &=\frac{1}{B \left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)} \cdot \frac{n}{m}\int_{0}^{1}{u^{\frac{n}{2}-2} \left(1-u\right)^\frac{m}{2}du} \end{align} ベータ関数の定義式 $B \left(\alpha,\beta\right)=\int_{0}^{1}{x^{\alpha-1} \left(1-x\right)^{\beta-1}dx}$ より、 \begin{align} \int_{0}^{1}{u^{\frac{n}{2}-2} \left(1-u\right)^\frac{m}{2}du}&=\int_{0}^{1}{u^{ \left(\frac{n}{2}-1\right)-1} \left(1-u\right)^{ \left(\frac{m}{2}+1\right)-1}du}\\ &=B \left(\frac{n}{2}-1,\frac{m}{2}+1\right) \end{align} ベータ関数の性質 \begin{align} B \left(\alpha,\beta+1\right)=\frac{\beta}{\alpha}B \left(\alpha+1,\beta\right) \end{align} より、 \begin{align} \alpha=\frac{n}{2}-1 \quad \beta=\frac{m}{2} \end{align} とすると、 \begin{align} B \left(\frac{n}{2}-1,\frac{m}{2}+1\right)=\frac{\frac{m}{2}}{\frac{n}{2}-1}B \left(\frac{n}{2},\frac{m}{2}\right) =\frac{m}{n-2}B \left(\frac{n}{2},\frac{m}{2}\right) \end{align} したがって、 \begin{align} E \left(X\right)&=\frac{1}{B \left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)} \cdot \frac{n}{m} \cdot \frac{m}{n-2}B \left(\frac{n}{2},\frac{m}{2}\right)\\ &=\frac{n}{n-2} \end{align} $\mathrm{F}$分布の定義域は、$0 \le x$ であることから、$0 \le E \left(X\right)$ となるので、 \begin{gather} \begin{matrix}E \left(X\right)=\displaystyle\frac{n}{n-2}&2 \lt n\\\end{matrix}\\ \begin{matrix}V \left(X\right)=\displaystyle\frac{2n^2 \left(m+n-2\right)}{m \left(n-2\right)^2 \left(n-4\right)}&4 \lt n\\\end{matrix} \end{gather} $\blacksquare$

（ii）分散
2乗の期待値の定義式 $E \left(X^2\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{x^2 \cdot f \left(x\right)dx}$ より、 \begin{align} E \left(X^2\right)&=\int_{-\infty}^{0}{x \cdot 0dx}+\int_{0}^{\infty}{x^2 \cdot f \left(x\right)dx}\\ &=\int_{0}^{\infty}{x^2 \cdot \frac{x^{\frac{m}{2}-1}}{B \left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right) \cdot \left(1+\frac{m}{n}x\right)^\frac{m+n}{2}} \left(\frac{m}{n}\right)^\frac{m}{2}dx}\\ &=\int_{0}^{\infty}{\frac{x^{\frac{m}{2}+1}}{B \left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right) \cdot \left(1+\frac{m}{n}x\right)^\frac{m+n}{2}} \left(\frac{m}{n}\right)^\frac{m}{2}dx} \end{align} （i）と同様の変数変換を行うと、置換積分法により、 \begin{align} E \left(X^2\right)&=\frac{1}{B \left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)} \left(\frac{m}{n}\right)^\frac{m}{2}\int_{1}^{0}{ \left\{\frac{n}{m} \left(\frac{1}{u}-1\right)\right\}^{\frac{m}{2}+1}u^\frac{m+n}{2} \left(-\frac{n}{m}\frac{1}{u^2}\right)du}\\ &=\frac{1}{B \left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)} \left(\frac{m}{n}\right)^\frac{m}{2} \left(\frac{n}{m}\right)^{\frac{m}{2}+2}\int_{0}^{1}{ \left(\frac{1}{u}-1\right)^{\frac{m}{2}+1}u^{\frac{m+n}{2}-2}du}\\ &=\frac{1}{B \left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)} \cdot \frac{n^2}{m^2}\int_{0}^{1}{ \left(\frac{1}{u}-1\right)^{\frac{m}{2}+1}u^{\frac{m+n}{2}-2}du}\\ &=\frac{1}{B \left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)} \cdot \frac{n^2}{m^2}\int_{0}^{1}{u^{\frac{n}{2}-3} \left(1-u\right)^{\frac{m}{2}+1}du}\\ &=\frac{1}{B \left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)} \cdot \frac{n^2}{m^2}\int_{0}^{1}{u^{ \left(\frac{n}{2}-2\right)-1} \left(1-u\right)^{ \left(\frac{m}{2}+2\right)-1}du} \end{align} ベータ関数の定義式 $B \left(\alpha,\beta\right)=\int_{0}^{1}{x^{\alpha-1} \left(1-x\right)^{\beta-1}dx}$ より、 \begin{align} E \left(X^2\right)&=\frac{1}{B \left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)} \cdot \frac{n^2}{m^2} \cdot B \left(\frac{n}{2}-2,\frac{m}{2}+2\right) \end{align} ベータ関数の性質 \begin{align} B \left(\alpha,\beta+1\right)=\frac{\beta}{\alpha}B \left(\alpha+1,\beta\right) \end{align} より、 \begin{align} \alpha=\frac{n}{2}-1 \quad \beta=\frac{m}{2} \end{align} とすると、 \begin{align} B \left(\frac{n}{2}-2,\frac{m}{2}+2\right)&=\frac{\frac{m}{2}+1}{\frac{n}{2}-2}B \left(\frac{n}{2}-1,\frac{m}{2}+1\right)\\ &=\frac{m+2}{n-4}B \left(\frac{n}{2}-1,\frac{m}{2}+1\right)\\ &=\frac{m+2}{n-4} \cdot \frac{m}{n-2}B \left(\frac{n}{2},\frac{m}{2}\right) \end{align} したがって、 \begin{align} E \left(X^2\right)&=\frac{1}{B \left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)} \cdot \frac{n^2}{m^2} \cdot \frac{m+2}{n-4} \cdot \frac{m}{n-2}B \left(\frac{n}{2},\frac{m}{2}\right)\\ &=\frac{ \left(m+2\right)n^2}{m \left(n-2\right) \left(n-4\right)} \end{align} 分散の公式 $V \left(X\right)=E \left(X^2\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、 \begin{align} V \left(X\right)&=\frac{n^2 \left(m+2\right)}{m \left(n-2\right) \left(n-4\right)}-\frac{n^2}{ \left(n-2\right)^2}\\ &=\frac{n^2 \left\{ \left(m+2\right) \left(n-2\right)-m \left(n-4\right)\right\}}{m \left(n-2\right)^2 \left(n-4\right)}\\ &=\frac{n^2 \left(mn-2m+2n-4-mn+4m\right)}{m \left(n-2\right)^2 \left(n-4\right)}\\ &=\frac{n^2 \left(2m+2n-4\right)}{m \left(n-2\right)^2 \left(n-4\right)}\\ &=\frac{2n^2 \left(m+n-2\right)}{m \left(n-2\right)^2 \left(n-4\right)} \end{align} $0 \lt V \left(X\right)$ である必要があるので、 \begin{gather} \begin{matrix}V \left(X\right)=\displaystyle\frac{2n^2 \left(m+n-2\right)}{m \left(n-2\right)^2 \left(n-4\right)}&4 \lt n\\\end{matrix} \end{gather} $\blacksquare$

$X,Y$ を互いに独立に自由度 $m$ と $n$ の $\chi^2$分布 \begin{align} X \sim \chi^2 \left(m\right) \quad \ Y \sim \chi^2 \left(n\right) \end{align} に従う確率変数とすると、 $\chi^2$分布の期待値の公式より、 \begin{gather} E \left(X\right)=m \quad E \left(X^2\right)=m^2+2m\\ E \left(\frac{1}{Y}\right)=\frac{1}{n-2} \quad E \left(\frac{1}{Y^2}\right)=\frac{1}{ \left(n-2\right) \left(n-4\right)} \end{gather} 独立な確率変数の期待値の性質 $E \left(XY\right)=E \left(X\right)E \left(Y\right)$ より、
（i）期待値 \begin{align} E \left(F\right)&=E \left(\frac{nX}{mY}\right)\\ &=\frac{n}{m}E \left(X\right) \cdot E \left(\frac{1}{Y}\right)\\ &=\frac{n}{m} \cdot m \cdot \frac{1}{n-2}\\ &=\frac{1}{n-2} \end{align} $\blacksquare$ （ii）分散
\begin{align} E \left(F^2\right)&=E \left(\frac{n^2X^2}{m^2Y^2}\right)\\ &=\frac{n^2}{m^2}E \left(X^2\right) \cdot E \left(\frac{1}{Y^2}\right)\\ &=\frac{n^2}{m^2} \cdot m \left(m+2\right) \cdot \frac{1}{ \left(n-2\right) \left(n-4\right)}\\ &=\frac{ \left(m+2\right)n^2}{m \left(n-2\right) \left(n-4\right)} \end{align} 分散の公式 $V \left(X\right)=E \left(X^2\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、 \begin{align} V \left(X\right)&=\frac{n^2 \left(m+2\right)}{m \left(n-2\right) \left(n-4\right)}-\frac{n^2}{ \left(n-2\right)^2}\\ &=\frac{2n^2 \left(m+n-2\right)}{m \left(n-2\right)^2 \left(n-4\right)} \end{align} $\blacksquare$