適合度の検定の検定統計量の従う分布の導出-あるノマドの知の旅路～数学・統計学への道

適合度の検定の検定統計量の従う分布の導出

公開日： 2023/04/28

本稿では、適合度の検定の検定統計量の従う分布を導出しています。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

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1.データの形式
2.【定理】適合度の検定の検定統計量の従う分布
- 2.1.証明
3.参考文献
4.関連記事

データの形式

カテゴリー $A$ に属する人数を表す確率変数 $X$ が二項分布 $\begin{matrix} X \sim B (n, p) \end{matrix}$ に従い、サンプルサイズが十分に大きく、中心極限定理が成り立ち、観測度数と理論比率・期待度数の関係が以下のような表にまとめられるとする。

表1 観測度数と理論比率・期待度数の関係
	カテゴリー $A$	カテゴリー $A$ 以外	合計
観測度数 $X_{i}$	$X$	$n - X$	$n$
理論比率 $p_{i}$	$p$	$1 - p$	$1$
期待度数 $e_{i}$	$n p$	$n (1 - p)$	$n$

【定理】適合度の検定の検定統計量の従う分布

【定理】
適合度の検定の検定統計量の従う分布
The Distribution of Chi-Square Goodness of Fit Test Statistic

帰無仮説「得られたデータは、理論的な分布から得られたものである」を検定するための $χ^{2}$ 検定統計量は $\begin{array}{r} χ_{0}^{2} = \sum_{i = 1}^{2} \frac{{(X_{i} - e_{i})}^{2}}{e_{i}} \end{array}$ で定義される。この検定統計量は、自由度1の $χ^{2}$ 分布に従う。

証明

定義に沿って、帰無仮説における検定統計量の値を算出すると、 $\begin{aligned} χ_{0}^{2} & = \frac{{(X - n p_{0})}^{2}}{n p_{0}} + \frac{{(n - X) - n (1 - p_{0})}^{2}}{n (1 - p_{0})} \\ = \frac{{(X - n p_{0})}^{2}}{n p_{0}} + \frac{{(X - n p_{0})}^{2}}{n (1 - p_{0})} \\ = {(X - n p_{0})}^{2} {\frac{1}{n p_{0}} + \frac{1}{n (1 - p_{0})}} \\ = \frac{{(X - n p_{0})}^{2}}{n p_{0} (1 - p_{0})} \\ (1) & = {\frac{X - n p_{0}}{\sqrt{n p_{0} (1 - p_{0})}}}^{2} \end{aligned}$ いっぽう、中心極限定理（ド＝モアブル・ラプラスの定理）より、帰無仮説において、漸近的に $\begin{array}{r} X \sim N {n p_{0}, n p_{0} (1 - p_{0})} \end{array}$ $X$ を標準化した値を $\begin{array}{r} Z = \frac{X - n p_{0}}{\sqrt{n p_{0} (1 - p_{0})}} \end{array}$ とすると、漸近的に $\begin{array}{r} Z \sim N (0, 1) \end{array}$ 標準化した値の2乗値を $\begin{array}{r} (1) & Z^{2} = {\frac{X - n p_{0}}{\sqrt{n p_{0} (1 - p_{0})}}}^{2} \end{array}$ とすると、式 $(1), (2)$ より、 $\begin{array}{r} χ_{0}^{2} = Z^{2} \end{array}$ よって、 $χ^{2}$ 分布の定義により、 $\begin{array}{r} χ_{0}^{2} \sim χ^{2} (1) \end{array}$ $◼$

参考文献

小寺平治著. 数理統計：明解演習. 共立出版, 1986, p.106
野田一雄, 宮岡悦良著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.285-288
久保川達也著, 新井仁之, 小林俊行, 斎藤毅, 吉田朋広編. 現代数理統計学の基礎. 共立出版, 2017, p.155-157

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