幾何分布（ファーストサクセス分布）の定義と概要-あるノマドの知の旅路～数学・統計学への道

幾何分布（ファーストサクセス分布）の定義と概要

公開日： 2023/03/22

本稿では、幾何分布の定義と概要についてまとめています。確率関数であることの証明、確率関数の導出、累積分布関数の導出、期待値・分散、確率母関数、モーメント母関数、無記憶性の紹介が含まれます。双子の関係にあるファーストサクセス分布についても触れています。

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幾何分布

定義・意味

成功確率が $p$ のベルヌーイ試行を繰り返すとき、はじめて成功するまでに要した失敗回数 $X$ が従う離散型確率分布を幾何分布 geometric distribution という。

確率関数

確率関数 $f (x)$ は、 $\begin{array}{r} f (x) = {\begin{array}{c} {(1 - p)}^{x} p & x = 0, 1, 2, \dots \\ 0 & other \end{array} \end{array}$ で与えられる。

略記法

また、幾何分布は、 $\begin{array}{r} G (p) \end{array}$ と略記されることがある。

ファーストサクセス分布

幾何分布には、本稿のようにはじめて成功するまでに要した失敗回数を確率変数 $X$ とする流儀とはじめて成功するまでに要した試行回数を確率変数 $Y$ とする流儀の2種類があります。後者の場合を「ファーストサクセス分布」ということがあり、 $X$ と $Y$ の間には、 $\begin{array}{r} Y = X + 1 \end{array}$ という関係があります。ファーストサクセス分布の確率関数は、 $\begin{array}{r} f (x) = {\begin{array}{c} {(1 - p)}^{y - 1} p & y = 1, 2, 3 \dots \\ 0 & other \end{array} \end{array}$ となります。

確率関数であることの証明

証明

（i）すべての $x$ に関して、 $f (x) \geq 0$
確率の基本性質 $0 \leq p \leq 1 \Rightarrow 0 \leq 1 - p$ より、 $\begin{array}{r} f (x) = {(1 - p)}^{x} p \geq 0 \end{array}$ （ii）すべての確率の和が1 $\begin{aligned} \sum_{x = 0}^{\infty} f (x) & = \sum_{x = 0}^{\infty} {(1 - p)}^{x} p \\ = p \sum_{x = 0}^{\infty} {(1 - p)}^{x} \end{aligned}$ 等比数列の無限和の公式 $| r | < 1 \Rightarrow \sum_{k = 0}^{\infty} r^{k} = \frac{1}{1 - r}$ より、 $\begin{array}{r} \sum_{x = 0}^{\infty} f (x) = p \cdot \frac{1}{1 - (1 - p)} = p \cdot \frac{1}{p} = 1 \end{array}$ よって、確率関数の定義を満たしているため、確率関数である。 $◼$

確率関数の導出

証明

はじめて成功するまでに要した失敗回数が $x$ 回となるためには、最初から $x$ 回目まで連続して失敗し、
$x + 1$ 回目で成功すればよいので、 $\begin{array}{r} P (X = x) = {(1 - p)}^{x} p \end{array}$ $◼$

【公式】幾何分布の累積分布関数

【公式】
幾何分布の累積分布関数
Cumulative Distribution Function of Geometric Distribution

幾何分布 $G (p)$ の累積分布関数は、 $\begin{array}{r} F (x) = {\begin{array}{c} 0 & x < 0 \\ 1 - {(1 - p)}^{x + 1} & x = 0, 1, 2, \dots \end{array} \end{array}$ で与えられる。

導出

累積分布関数の定義式 $F (x) = P (X \leq x)$ より、
（i） $x < 0$ のとき、 $f (x) = 0$ より、 $\begin{array}{r} F (x) = \sum_{k = - \infty}^{x} 0 = 0 \end{array}$ （ii） $0 \leq x$ のとき
$\begin{aligned} F (x) & = \sum_{k = 0}^{x} {(1 - p)}^{x} p \\ = p \sum_{k = 0}^{x} {(1 - p)}^{x} \end{aligned}$ 等比数列の和の公式 $\sum_{k = 0}^{n} r^{k} = \frac{1 - r^{n + 1}}{1 - r}$ より、 $\begin{aligned} F (x) & = p \cdot \frac{1 - {(1 - p)}^{x + 1}}{1 - (1 - p)} \\ = p \cdot \frac{1 - {(1 - p)}^{x + 1}}{p} \\ = 1 - {(1 - p)}^{x + 1} \end{aligned}$ したがって、 $\begin{array}{r} F (x) = {\begin{array}{c} 0 & x < 0 \\ 1 - {(1 - p)}^{x + 1} & x = 0, 1, 2, \dots \end{array} \end{array}$ $◼$

重要事項のまとめ

略記法

$\begin{array}{r} G (p) \end{array}$

パラメータ

$\begin{array}{r} 0 < p < 1 \end{array}$

確率関数

$\begin{array}{r} f (x) = {\begin{array}{c} {(1 - p)}^{x} p & x = 0, 1, 2, \dots \\ 0 & other \end{array} \end{array}$

累積分布関数

$\begin{array}{r} F (x) = {\begin{array}{c} 0 & x < 0 \\ 1 - {(1 - p)}^{x + 1} & x = 0, 1, 2, \dots \end{array} \end{array}$

期待値

$\begin{array}{r} E (X) = \frac{1 - p}{p} \end{array}$

分散

$\begin{array}{r} V (X) = \frac{1 - p}{p^{2}} \end{array}$

確率母関数

$\begin{array}{r} G_{X} (θ) = \frac{p}{1 - θ (1 - p)} \end{array}$

モーメント母関数

$\begin{array}{r} M_{X} (θ) = \frac{p}{1 - e^{θ} (1 - p)} \end{array}$

無記憶性

幾何分布には、無記憶性がある。

参考文献

小寺平治著. 数理統計：明解演習. 共立出版, 1986, p.55
野田一雄, 宮岡悦良著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.119-120
稲垣宣生著. 数理統計学. 裳華房, 2003, p.33-34
黒木学著. 数理統計学：統計的推論の基礎. 共立出版, 2020, p.84-85

幾何分布（ファーストサクセス分布）の定義と概要