大標本における母比率の差に関する検定の導出-あるノマドの知の旅路～数学・統計学への道

本稿では、大標本における母比率の差に関する検定を導出しています。

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$Z_{α}$ は標準正規分布の上側 $100 α %$ 点を表しています。

1.データの形式
2.【定理】大標本における母比率の差に関する検定
3.参考文献
4.関連記事

データの形式

確率変数 $X, Y$ が互いに独立に二項分布 $\begin{array}{r} B (n_{1}, p_{1}), B (n_{2}, p_{2}) \end{array}$ に従い、標本比率を $\begin{array}{r} {\hat{p}}_{1} = \frac{X}{n_{1}} {\hat{p}}_{2} = \frac{Y}{n_{2}} \end{array}$ 共通の標本比率を $\begin{array}{r} \hat{p} = \frac{n_{1} {\hat{p}}_{1} + n_{2} {\hat{p}}_{2}}{n_{1} + n_{2}} \end{array}$ とし、サンプルサイズが十分に大きく、中心極限定理が成り立ち、かつ、母比率が標本比率で近似できる $\begin{matrix} p_{1} ≅ {\hat{p}}_{1} p_{2} ≅ {\hat{p}}_{2} \end{matrix}$ とする。

【定理】大標本における母比率の差に関する検定

【定理】
大標本における母比率の差に関する検定
Population Proportion Difference with Large-Sample

大標本における母比率の差に関する検定問題
（I）両側検定 $\begin{array}{r} H_{0} : p_{1} = p_{2} H_{1} : p_{1} \neq p_{2} \end{array}$ （II-A）片側検定A $\begin{array}{r} H_{0} : p_{1} \leq p_{2} H_{1} : p_{1} > p_{2} \end{array}$ （II-B）片側検定B $\begin{array}{r} H_{0} : p_{1} \geq p_{2} H_{1} : p_{1} < p_{2} \end{array}$ を考える場合、検定統計量を $\begin{matrix} Z_{0} = \frac{{\hat{p}}_{1} - {\hat{p}}_{2}}{\hat{σ}} \\ {\hat{σ}}^{2} = \hat{p} (1 - \hat{p}) (\frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}}) \end{matrix}$ として、（I）両側検定
以下の棄却域と検定関数 $φ (θ; x)$ をもつ検定は有意水準を $α$ とする一様最強力不偏検定となる。 $\begin{array}{r} φ (θ; x) = {\begin{array}{c} - Z_{0.5 α} \leq Z_{0} \leq Z_{0.5 α} & 0 : Hold H_{0} \\ Z_{0} \leq - Z_{0.5 α} or Z_{0.5 α} \leq Z_{0} & 1 : Reject H_{0} \end{array} \end{array}$ （II）片側検定
以下の棄却域と検定関数 $φ (θ; x)$ をもつ検定は有意水準を $α$ とする一様最強力検定となる。
（II-A）片側検定A $\begin{array}{r} φ (θ; x) = {\begin{array}{c} Z_{0} < Z_{α} & 0 : Hold H_{0} \\ Z_{α} \leq Z_{0} & 1 : Reject H_{0} \end{array} \end{array}$ （II-B）片側検定B $\begin{array}{r} φ (θ; x) = {\begin{array}{c} - Z_{α} < Z_{0} & 0 : Hold H_{0} \\ Z_{0} \leq - Z_{α} & 1 : Reject H_{0} \end{array} \end{array}$

Step.1 尤度比の算出

二項分布の最尤推定量は、 $\begin{array}{r} {\hat{p}}_{1} = \frac{X}{n_{1}} {\hat{p}}_{2} = \frac{Y}{n_{2}} \end{array}$ 帰無仮説における共通の母比率を $H_{0} : p_{1} = p_{2} = p$ として、両仮説の尤度比 $λ$ を計算すると（算出過程は省略）、 $\begin{aligned} λ & = \frac{L (p_{1} = p, p_{2} = p; x, y)}{L (p_{1} = {\hat{p}}_{1}, p_{2} = {\hat{p}}_{2}; x, y)} \\ = \frac{f (x; p_{1} = p) \cdot f (y; p_{2} = p)}{f (x; p_{1} = {\hat{p}}_{1}) \cdot f (y; p_{2} = {\hat{p}}_{2})} = \dots \\ = h ({\hat{p}}_{1} - {\hat{p}}_{2}) \end{aligned}$ したがって、検定統計量 $T (X, Y) = \frac{X}{n_{1}} - \frac{Y}{n_{2}}$ が考えられる。

Step.2 検定統計量の対立仮説・帰無仮説における分布

（i）対立仮説における分布
標本比率の漸近分布は、 $\begin{array}{r} {\hat{p}}_{i} \sim N [p_{i}, \frac{p_{i} (1 - p_{i})}{n_{i}}] i = 1, 2 \end{array}$ 正規分布の再生性より、標本比率の差 $\hat{d} = {\hat{p}}_{1} - {\hat{p}}_{2}$ の漸近分布は、 $\begin{array}{r} \hat{d} \sim N {p_{1} - p_{2}, \frac{p_{1} (1 - p_{1})}{n_{1}} + \frac{p_{2} (1 - p_{2})}{n_{2}}} \end{array}$ 母比率が標本比率で近似できるとき、 $\begin{array}{r} \hat{d} \sim N {p_{1} - p_{2}, \frac{{\hat{p}}_{1} (1 - {\hat{p}}_{1})}{n_{1}} + \frac{{\hat{p}}_{2} (1 - {\hat{p}}_{2})}{n_{2}}} \end{array}$ （ii）帰無仮説における分布
帰無仮説 $H_{0} : p_{1} = p_{2} = p$ における共通の母比率の最尤推定量は、 $\begin{array}{r} \hat{p} = \frac{n_{1} {\hat{p}}_{1} + n_{2} {\hat{p}}_{2}}{n_{1} + n_{2}} \end{array}$ よって、帰無仮説における標本比率の差の漸近分布は、 $\begin{array}{r} \hat{d} \sim N {0, \frac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n_{1}} + \frac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n_{2}}} \end{array}$ 帰無仮説において、標本比率の差 $\hat{d}$ を標準化した値を $\begin{matrix} Z_{0} = \frac{{\hat{p}}_{1} - {\hat{p}}_{2}}{\hat{σ}} \\ {\hat{σ}}^{2} = \hat{p} (1 - \hat{p}) (\frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}}) \end{matrix}$ とすると、標準化変換の性質より、 $\begin{array}{r} Z_{0} \sim N (0, 1) \end{array}$

Step.3 検定関数と棄却域の型

（I）両側検定
ネイマン・ピアソンの基本定理により、次の棄却域と検定関数 $φ (θ; x)$ をもつ検定が漸近的に有意水準を $α$ とする一様最強力不偏検定となる。
$\begin{array}{r} (1) & φ (θ; x) = {\begin{array}{c} a \leq T (X) \leq b & 0 : Hold H_{0} \\ T (X) < a or b < T (X) & 1 : Reject H_{0} \end{array} \end{array}$ （II）片側検定
ネイマン・ピアソンの基本定理と単調尤度比の原理により、次の棄却域と検定関数 $φ (θ; x)$ をもつ検定が漸近的に有意水準を $α$ とする一様最強力検定となる。
検定A $\begin{array}{r} (2) & φ (θ; x) = {\begin{array}{c} T (X) < a & 0 : Hold H_{0} \\ a \leq T (X) & 1 : Reject H_{0} \end{array} \end{array}$ 検定B $\begin{array}{r} (3) & φ (θ; x) = {\begin{array}{c} b < T (X) & 0 : Hold H_{0} \\ T (X) \leq b & 1 : Reject H_{0} \end{array} \end{array}$

Step.4 棄却域の設定

（I）両側検定
パーセント点の定義と標準正規分布の対称性から、 $\begin{array}{r} P (- Z_{0.5 α} \leq Z_{0} \leq Z_{0.5 α}) = 1 - α \end{array}$ したがって、式 $(1)$ において、 $a = - Z_{0.5 α}, b = Z_{0.5 α}$ とすると、 $\begin{matrix} φ (θ; x) = {\begin{matrix} - Z_{0.5 α} \leq Z_{0} \leq Z_{0.5 α} & 0 : Hold H_{0} \\ Z_{0} \leq - Z_{0.5 α} or Z_{0.5 α} \leq Z_{0} & 1 : Reject H_{0} \end{matrix} \end{matrix}$ （II-A）片側検定A
パーセント点の定義より、 $\begin{array}{r} P (Z_{0} \leq Z_{α}) = 1 - α \end{array}$ したがって、式 $(2)$ において、 $a = Z_{α}$ とすると、 $\begin{array}{r} φ (θ; x) = {\begin{array}{c} Z_{0} < Z_{α} & 0 : Hold H_{0} \\ Z_{α} \leq Z_{0} & 1 : Reject H_{0} \end{array} \end{array}$ （II-B）片側検定B
パーセント点の定義より、 $\begin{array}{r} P (- Z_{α} \leq Z_{0}) = 1 - α \end{array}$ したがって、式 $(3)$ において、 $b = - Z_{α}$ とすると、 $\begin{array}{r} φ (θ; x) = {\begin{array}{c} - Z_{α} < Z_{0} & 0 : Hold H_{0} \\ Z_{0} \leq - Z_{α} & 1 : Reject H_{0} \end{array} \end{array}$ $◼$

参考文献

小寺平治著. 数理統計：明解演習. 共立出版, 1986, p.130-131
野田一雄, 宮岡悦良著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.279-280

大標本における母比率の差に関する検定の導出

データの形式