大標本における母平均の差の信頼区間の導出

本稿では、大標本における母平均の差の信頼区間を導出しています。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

データの形式

確率変数 $X,Y$ が互いに独立に、それぞれ平均が ${\mu }_X,{\mu }_Y$、分散が ${\sigma }_X^2,{\sigma }_Y^2$ である任意の確率分布 $$\begin{array}{r}{\mathrm{P}}_X({\mu }_X,{\sigma }_X^2){\mathrm{P}}_Y({\mu }_Y,{\sigma }_Y^2)\end{array}$$ に従い、 この分布からの大きさ $n,m$ の無作為標本を $$\begin{array}{r}\mathit{X}=\{X_1,X_2,\cdots X_n\}\mathit{Y}=\{Y_1,Y_2,\cdots Y_m\}\end{array}$$ それぞれの標本平均と標本不偏分散を $$\begin{array}{c}\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\overline{Y}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^n{Y}_i\\ s_X^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X})s_Y^2=\frac{1}{m-1}\sum _{i=1}^m(Y_i-\overline{Y})\end{array}$$ とし、 サンプルサイズが十分に大きく、中心極限定理が成り立ち、かつ、母分散が標本不偏分散で近似できる $$\begin{array}{c}{\sigma }_X^2\cong s_X^2{\sigma }_Y^2\cong s_Y^2\end{array}$$ とする。

【定理】大標本における母平均の差の信頼区間

導出

参考文献

• 小寺 平治 著. 数理統計：明解演習. 共立出版, 1986, p.129-130

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