本稿では、指数分布のパラメータの信頼区間を導出しています。
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データの形式
確率変数 $X$ が指数分布 \begin{align} \mathrm{Ex} \left(\lambda\right) \end{align} に従い、 この分布からの大きさ $n$ の無作為標本を \begin{align} \boldsymbol{X}= \left\{X_1,X_2, \cdots X_n\right\} \end{align} 標本平均を \begin{align} \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i \end{align} とする。
【定理】指数分布のパラメータの信頼区間
【定理】
指数分布のパラメータの信頼区間
Confidence Intervals for The Parameter of Exponential Distribution
パラメータ $\lambda \left(0 \lt \lambda\right)$ の $100 \left(1-\alpha\right)\%$ 信頼区間は、 \begin{align} \frac{\chi_{1-0.5\alpha}^2 \left(2n\right)}{2n\bar{X}} \le \lambda \le \frac{\chi_{0.5\alpha}^2 \left(2n\right)}{2n\bar{X}} \end{align} ただし、$\chi_\alpha^2 \left(2n\right)$ は、自由度 $2n$ の $\chi^2$分布の上側 $100\alpha\%$ 点とする。 で与えられる。
導出
指数分布とガンマ分布の関係 $Ex \left(\lambda\right)=Ga \left(1,\lambda\right)$ より、 \begin{align} X \sim \mathrm{Ga} \left(1,\lambda\right) \end{align} $W=X_1+X_2+ \cdots +X_n=n\bar{X}$ とすると、ガンマ分布の再生性より、 \begin{align} W \sim \mathrm{Ga} \left(n,\lambda\right) \end{align} ガンマ分布と $\chi^2$分布の累積確率の関係より、 \begin{align} P \left(W \le w\right)=P \left(X^2 \le 2n\bar{X}\lambda\right) \end{align} 自由度 $2n$ の $\chi^2$分布の上側 $100\alpha\%$ 点を $\chi_\alpha^2 \left(2n\right)$ とするとき、パーセント点の定義から、 \begin{align} P \left\{\chi_{1-0.5\alpha}^2 \left(2n\right) \le 2n\bar{X}\lambda \le \chi_{0.5\alpha}^2 \left(2n\right)\right\}=1-\alpha \end{align} したがって、パラメータ $\lambda \left(0 \lt \lambda\right)$ の $100 \left(1-\alpha\right)\%$ 信頼区間は、 \begin{gather} \chi_{1-0.5\alpha}^2 \left(2n\right) \le 2n\bar{X}\lambda \le \chi_{0.5\alpha}^2 \left(2n\right)\\ \frac{\chi_{1-0.5\alpha}^2 \left(2n\right)}{2n\bar{X}} \le \lambda \le \frac{\chi_{0.5\alpha}^2 \left(2n\right)}{2n\bar{X}} \end{gather} $\blacksquare$
参考文献
- 小寺 平治 著. 数理統計：明解演習. 共立出版, 1986, p.128, p.138 ゼミナール6.1, p.180
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.245 練習問題 ex.6.5.6
- 藤澤 洋徳 著. 確率と統計. 朝倉書店, 2006, p.143 演習問題 B10.7
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