指数分布のパラメータの信頼区間の導出-あるノマドの知の旅路～数学・統計学への道

指数分布のパラメータの信頼区間の導出

公開日： 2023/04/24

本稿では、指数分布のパラメータの信頼区間を導出しています。

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1.データの形式
2.【定理】指数分布のパラメータの信頼区間
- 2.1.導出
3.参考文献
4.関連記事

データの形式

確率変数 $X$ が指数分布 $\begin{array}{r} Ex (λ) \end{array}$ に従い、この分布からの大きさ $n$ の無作為標本を $\begin{array}{r} X = {X_{1}, X_{2}, \dots X_{n}} \end{array}$ 標本平均を $\begin{array}{r} \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \end{array}$ とする。

【定理】指数分布のパラメータの信頼区間

【定理】
指数分布のパラメータの信頼区間
Confidence Intervals for The Parameter of Exponential Distribution

パラメータ $λ (0 < λ)$ の $100 (1 - α) %$ 信頼区間は、 $\begin{array}{r} \frac{χ_{1 - 0.5 α}^{2} (2 n)}{2 n \bar{X}} \leq λ \leq \frac{χ_{0.5 α}^{2} (2 n)}{2 n \bar{X}} \end{array}$ ただし、 $χ_{α}^{2} (2 n)$ は、自由度 $2 n$ の $χ^{2}$ 分布の上側 $100 α %$ 点とする。で与えられる。

導出

指数分布とガンマ分布の関係 $E x (λ) = G a (1, λ)$ より、 $\begin{array}{r} X \sim Ga (1, λ) \end{array}$ $W = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n} = n \bar{X}$ とすると、ガンマ分布の再生性より、 $\begin{array}{r} W \sim Ga (n, λ) \end{array}$ ガンマ分布と $χ^{2}$ 分布の累積確率の関係より、 $\begin{array}{r} P (W \leq w) = P (X^{2} \leq 2 n \bar{X} λ) \end{array}$ 自由度 $2 n$ の $χ^{2}$ 分布の上側 $100 α %$ 点を $χ_{α}^{2} (2 n)$ とするとき、パーセント点の定義から、 $\begin{array}{r} P {χ_{1 - 0.5 α}^{2} (2 n) \leq 2 n \bar{X} λ \leq χ_{0.5 α}^{2} (2 n)} = 1 - α \end{array}$ したがって、パラメータ $λ (0 < λ)$ の $100 (1 - α) %$ 信頼区間は、 $\begin{matrix} χ_{1 - 0.5 α}^{2} (2 n) \leq 2 n \bar{X} λ \leq χ_{0.5 α}^{2} (2 n) \\ \frac{χ_{1 - 0.5 α}^{2} (2 n)}{2 n \bar{X}} \leq λ \leq \frac{χ_{0.5 α}^{2} (2 n)}{2 n \bar{X}} \end{matrix}$ $◼$

参考文献

小寺平治著. 数理統計：明解演習. 共立出版, 1986, p.128, p.138 ゼミナール6.1, p.180
野田一雄, 宮岡悦良著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.245 練習問題 ex.6.5.6
藤澤洋徳著. 確率と統計. 朝倉書店, 2006, p.143 演習問題 B10.7

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