大標本における母比率の信頼区間の導出

二項分布の期待値と分散は、 $$\begin{array}{r}E\left(X\right)=npV\left(X\right)=np(1-p)\end{array}$$ 二項分布の正規近似（中心極限定理）により、 $$\begin{array}{r}X\sim \mathrm{N}\{np,np(1-p)\}\end{array}$$ 線形変換の性質より、標本比率 $\hat{p}$ について、 $$\begin{array}{r}\hat{p}\sim \mathrm{N}[p,\frac{p(1-p)}{n}]\end{array}$$ 標本比率 $\hat{p}$ を標準化した値を $$\begin{array}{r}Z=\frac{\hat{p}-p}{\sigma }\\ {\sigma }^2=\frac{p(1-p)}{n}\end{array}$$ とすると、 標準化変換の性質より、 $$\begin{array}{r}Z\sim N(0,1)\end{array}$$ 標準正規分布の上側 $100\alpha \mathrm{\%}$ 点を $Z_{\alpha }$ とするとき、標準正規分布の対称性から、 $$\begin{array}{r}P(-Z_{0.5\alpha }\le Z\le Z_{0.5\alpha })=1-\alpha \end{array}$$ したがって、母平均の $100(1-\alpha )\mathrm{\%}$ 信頼区間は、 $$\begin{array}{c}-Z_{0.5\alpha }\le \frac{\hat{p}-p}{\sigma }\le Z_{0.5\alpha }\\ \hat{p}-\sigma \cdot Z_{0.5\alpha }\le p\le \hat{p}+\sigma \cdot Z_{0.5\alpha }\end{array}$$ ここで、母比率が標本比率で近似できる $p\cong \hat{p}$ とき、 $$\begin{array}{c}\hat{p}-\hat{\sigma }\cdot Z_{0.5\alpha }\le p\le \hat{p}+\hat{\sigma }\cdot Z_{0.5\alpha }\\ {\hat{\sigma }}^2=\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}\end{array}$$ $◼$