大標本における母比率の信頼区間の導出

二項分布の期待値と分散は、 \begin{align} E \left(X\right)=np \quad V \left(X\right)=np \left(1-p\right) \end{align} 二項分布の正規近似（中心極限定理）により、 \begin{align} X \sim \mathrm{N} \left\{np,np \left(1-p\right)\right\} \end{align} 線形変換の性質より、標本比率 $\hat{p}$ について、 \begin{align} \hat{p} \sim \mathrm{N} \left[p,\frac{p \left(1-p\right)}{n}\right] \end{align} 標本比率 $\hat{p}$ を標準化した値を \begin{align} Z=\frac{\hat{p}-p}{\sigma}\\ \sigma^2=\frac{p \left(1-p\right)}{n} \end{align} とすると、 標準化変換の性質より、 \begin{align} Z \sim N \left(0,1\right) \end{align} 標準正規分布の上側 $100\alpha\%$ 点を $Z_\alpha$ とするとき、標準正規分布の対称性から、 \begin{align} P \left(-Z_{0.5\alpha} \le Z \le Z_{0.5\alpha}\right)=1-\alpha \end{align} したがって、母平均の $100 \left(1-\alpha\right)\%$ 信頼区間は、 \begin{gather} -Z_{0.5\alpha} \le \frac{\hat{p}-p}{\sigma} \le Z_{0.5\alpha}\\ \hat{p}-\sigma \cdot Z_{0.5\alpha} \le p \le \hat{p}+\sigma \cdot Z_{0.5\alpha} \end{gather} ここで、母比率が標本比率で近似できる $p\cong\hat{p}$ とき、 \begin{gather} \hat{p}-\hat{\sigma} \cdot Z_{0.5\alpha} \le p \le \hat{p}+\hat{\sigma} \cdot Z_{0.5\alpha}\\ {\hat{\sigma}}^2=\frac{\hat{p} \left(1-\hat{p}\right)}{n} \end{gather} $\blacksquare$