本稿では、大標本におけるポアソン分布のパラメータに関する検定を導出しています。
なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
- スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
- $Z_\alpha$ は標準正規分布の上側 $100\alpha\%$ 点を表しています。
データの形式
確率変数 $X$ がポアソン分布 \begin{align} X \sim \mathrm{Po} \left(\lambda\right) \end{align} に従い、 この分布からの大きさ $n$ の無作為標本を \begin{align} \boldsymbol{X}= \left\{X_1,X_2, \cdots ,X_n\right\} \end{align} とする。 また、標本平均を \begin{align} \hat{\lambda}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i \end{align} とし、 サンプルサイズが十分に大きく、中心極限定理が成り立つとする。
【定理】大標本におけるポアソン分布のパラメータに関する検定
【定理】
大標本におけるポアソン分布のパラメータに関する検定
The Parameter of Poisson Distribution with Large-Sample
大標本におけるポアソン分布のパラメータ $\lambda$ に関する検定問題
（I）両側検定
\begin{align}
H_0:\lambda=\lambda_0 \quad H_1:\lambda \neq \lambda_0
\end{align}
（II-A）片側検定A
\begin{align}
H_0:\lambda \le \lambda_0 \quad H_1:\lambda \gt \lambda_0
\end{align}
（II-B）片側検定B
\begin{align}
H_0:\lambda \geq \lambda_0 \quad H_1:\lambda \lt \lambda_0
\end{align}
を考える場合、
検定統計量を
\begin{align}
Z_0=\frac{\sqrt n \left(\hat{\lambda}-\lambda_0\right)}{\sqrt{\lambda_0}}
\end{align}
として、
（I）両側検定
以下の棄却域と検定関数 $\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)$ をもつ検定は有意水準を $\alpha$ とする一様最強力不偏検定となる。
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}-Z_{0.5\alpha} \le Z_0 \le Z_{0.5\alpha}&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\Z_0 \le -Z_{0.5\alpha} \quad \mathrm{or} \quad Z_{0.5\alpha} \le Z_0&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.
\end{align}
（II）片側検定
以下の棄却域と検定関数 $\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)$ をもつ検定は有意水準を $\alpha$ とする一様最強力検定となる。
（II-A）片側検定A
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}Z_0 \lt Z_\alpha&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\Z_\alpha \le Z_0&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.
\end{align}
（II-B）片側検定B
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}-Z_\alpha \lt Z_0&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\Z_0 \le -Z_\alpha&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.
\end{align}
Step.1 尤度比の算出
ポアソン分布のパラメータの最尤推定量は、 \begin{align} \hat{\lambda}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i \end{align} 両仮説の尤度比 $\Lambda$ を計算すると（算出過程は省略）、 \begin{align} \Lambda=\frac{L \left(\lambda=\lambda_0;\boldsymbol{x}\right)}{L \left(\lambda=\hat{\lambda};\boldsymbol{x}\right)}=\frac{\prod_{i=1}^{n}f \left(x_i;\lambda=\lambda_0\right)}{\prod_{i=1}^{n}f \left(x_i;\lambda=\hat{\lambda}\right)}= \cdots =h \left(\hat{\lambda}\right) \end{align} したがって、検定統計量 $T \left(\boldsymbol{X}\right)=\bar{X}$ が考えられる。
Step.2 検定統計量の対立仮説・帰無仮説における分布
（i）対立仮説における分布
ポアソン分布の標本平均の漸近分布は、
\begin{align}
\hat{\lambda} \sim \mathrm{N} \left(\lambda,\frac{\lambda}{n}\right)
\end{align}
（ii）帰無仮説における分布
帰無仮説 $H_0:\lambda=\lambda_0$ における標本平均の分布は、
\begin{align}
\hat{\lambda} \sim \mathrm{N} \left(\lambda_0,\frac{\lambda_0}{n}\right)
\end{align}
帰無仮説において、標本平均 $\hat{\lambda}$ を標準化した値を
\begin{align}
Z_0=\frac{\sqrt n \left(\hat{\lambda}-\lambda_0\right)}{\sqrt{\lambda_0}}
\end{align}
とすると、
標準化変換の性質より、
\begin{align}
Z_0 \sim N \left(0,1\right)
\end{align}
Step.3 検定関数と棄却域の型
（I）両側検定
ネイマン・ピアソンの基本定理により、次の棄却域と検定関数 $\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)$ をもつ検定が漸近的に有意水準を $\alpha$ とする一様最強力不偏検定となる。
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}a \le T \left(\boldsymbol{X}\right) \le b&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\T \left(\boldsymbol{X}\right) \lt a \quad \mathrm{or} \quad b \lt T \left(\boldsymbol{X}\right)&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.\tag{1}
\end{align}
（II）片側検定
ネイマン・ピアソンの基本定理と単調尤度比の原理により、次の棄却域と検定関数 $\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)$ をもつ検定が漸近的に有意水準を $\alpha$ とする一様最強力検定となる。
検定A
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}T \left(\boldsymbol{X}\right) \lt a&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\a \le T \left(\boldsymbol{X}\right)&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.\tag{2}
\end{align}
検定B
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}b \lt T \left(\boldsymbol{X}\right)&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\T \left(\boldsymbol{X}\right) \le b&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.\tag{3}
\end{align}
Step.4 棄却域の設定
（I）両側検定
パーセント点の定義と標準正規分布の対称性から、
\begin{align}
P \left(-Z_{0.5\alpha} \le Z_0 \le Z_{0.5\alpha}\right)=1-\alpha
\end{align}
したがって、式 $(1)$ において、$a=-Z_{0.5\alpha},b=Z_{0.5\alpha}$ とすると、
\begin{gather}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}-Z_{0.5\alpha} \le Z_0 \le Z_{0.5\alpha}&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\Z_0 \le -Z_{0.5\alpha} \quad \mathrm{or} \quad Z_{0.5\alpha} \le Z_0&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.\\
\end{gather}
（II-A）片側検定A
パーセント点の定義より、
\begin{align}
P \left(Z_0 \le Z_\alpha\right)=1-\alpha
\end{align}
したがって、式 $(2)$ において、$a=Z_\alpha$ とすると、
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}Z_0 \lt Z_\alpha&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\Z_\alpha \le Z_0&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.
\end{align}
（II-B）片側検定B
パーセント点の定義より、
\begin{align}
P \left(-Z_\alpha \le Z_0\right)=1-\alpha
\end{align}
したがって、式 $(3)$ において、$b=-Z_\alpha$ とすると、
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}-Z_\alpha \lt Z_0&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\Z_0 \le -Z_\alpha&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.
\end{align}
$\blacksquare$
参考文献
- 日本統計学会 編. 統計学：日本統計学会公式認定統計検定1級対応. 東京図書, 2013, p.110-111
0 件のコメント:
コメントを投稿