大標本におけるポアソン分布のパラメータに関する検定の導出

本稿では、大標本におけるポアソン分布のパラメータに関する検定を導出しています。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

データの形式

確率変数 $X$ がポアソン分布 $$\begin{array}{r}X\sim \mathrm{Po}\left(\lambda \right)\end{array}$$ に従い、 この分布からの大きさ $n$ の無作為標本を $$\begin{array}{r}\mathit{X}=\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}\end{array}$$ とする。 また、標本平均を $$\begin{array}{r}\hat{\lambda }=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\end{array}$$ とし、 サンプルサイズが十分に大きく、中心極限定理が成り立つとする。

【定理】大標本におけるポアソン分布のパラメータに関する検定

Step.1 尤度比の算出

ポアソン分布のパラメータの最尤推定量は、 $$\begin{array}{r}\hat{\lambda }=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\end{array}$$ 両仮説の尤度比 $\mathrm{\Lambda }$ を計算すると（算出過程は省略）、 $$\begin{array}{r}\mathrm{\Lambda }=\frac{L(\lambda ={\lambda }_0;\mathit{x})}{L(\lambda =\hat{\lambda };\mathit{x})}=\frac{\prod _{i=1}^{n}f(x_i;\lambda ={\lambda }_0)}{\prod _{i=1}^{n}f(x_i;\lambda =\hat{\lambda })}=\cdots =h\left(\hat{\lambda }\right)\end{array}$$ したがって、検定統計量 $T\left(\mathit{X}\right)=\overline{X}$ が考えられる。

Step.2 検定統計量の対立仮説・帰無仮説における分布

（i）対立仮説における分布
ポアソン分布の標本平均の漸近分布は、 $$\begin{array}{r}\hat{\lambda }\sim \mathrm{N}(\lambda ,\frac{\lambda }{n})\end{array}$$ （ii）帰無仮説における分布
帰無仮説 $H_0:\lambda ={\lambda }_0$ における標本平均の分布は、 $$\begin{array}{r}\hat{\lambda }\sim \mathrm{N}({\lambda }_0,\frac{{\lambda }_0}{n})\end{array}$$ 帰無仮説において、標本平均 $\hat{\lambda }$ を標準化した値を $$\begin{array}{r}{Z}_0=\frac{\sqrt{n}(\hat{\lambda }-{\lambda }_0)}{\sqrt{{\lambda }_0}}\end{array}$$ とすると、 標準化変換の性質より、 $$\begin{array}{r}{Z}_0\sim N(0,1)\end{array}$$

Step.3 検定関数と棄却域の型

（I）両側検定
ネイマン・ピアソンの基本定理により、次の棄却域と検定関数 $\phi (\theta ;\mathit{x})$ をもつ検定が漸近的に有意水準を $\alpha$ とする一様最強力不偏検定となる。
$$\begin{array}{}\text{(1)}& \phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}a\le T\left(\mathit{X}\right)\le b& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ T\left(\mathit{X}\right)<a\mathrm{or}b<T\left(\mathit{X}\right)& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ （II）片側検定
ネイマン・ピアソンの基本定理と単調尤度比の原理により、次の棄却域と検定関数 $\phi (\theta ;\mathit{x})$ をもつ検定が漸近的に有意水準を $\alpha$ とする一様最強力検定となる。
検定A $$\begin{array}{}\text{(2)}& \phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}T\left(\mathit{X}\right)<a& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ a\le T\left(\mathit{X}\right)& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ 検定B $$\begin{array}{}\text{(3)}& \phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}b<T\left(\mathit{X}\right)& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ T\left(\mathit{X}\right)\le b& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$

Step.4 棄却域の設定

（I）両側検定
パーセント点の定義と標準正規分布の対称性から、 $$\begin{array}{r}P(-Z_{0.5\alpha }\le Z_0\le Z_{0.5\alpha })=1-\alpha \end{array}$$ したがって、式 $(1)$ において、$a=-Z_{0.5\alpha },b=Z_{0.5\alpha }$ とすると、 $$\begin{array}{c}\phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}-Z_{0.5\alpha }\le Z_0\le Z_{0.5\alpha }& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ Z_0\le -Z_{0.5\alpha }\mathrm{or}{Z}_{0.5\alpha }\le Z_0& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ （II-A）片側検定A
パーセント点の定義より、 $$\begin{array}{r}P(Z_0\le Z_{\alpha })=1-\alpha \end{array}$$ したがって、式 $(2)$ において、$a=Z_{\alpha }$ とすると、 $$\begin{array}{r}\phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}{Z}_0<Z_{\alpha }& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ Z_{\alpha }\le Z_0& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ （II-B）片側検定B
パーセント点の定義より、 $$\begin{array}{r}P(-Z_{\alpha }\le Z_0)=1-\alpha \end{array}$$ したがって、式 $(3)$ において、$b=-Z_{\alpha }$ とすると、 $$\begin{array}{r}\phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}-Z_{\alpha }<Z_0& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ Z_0\le -Z_{\alpha }& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ $◼$

参考文献

• 日本統計学会 編. 統計学：日本統計学会公式認定統計検定1級対応. 東京図書, 2013, p.110-111

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