十分統計量

十分統計量、最小十分統計量、完備十分統計量の定義やフィッシャー・ネイマンの因子分解定理の紹介が含まれます。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

十分統計量

母集団からの標本 $\mathit{X}=(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ に対して、ある統計量 $T=T\left(\mathit{X}\right)$ を与えた下での標本 $\mathit{X}$ の条件付確率分布が、パラメータ $\theta$ に依存しない、すなわち、 $$\begin{array}{r}P(X=x|T\left(\mathit{X}\right)=t:\theta )=P(X=x|T\left(\mathit{X}\right)=t)\end{array}$$ が成り立つとき、 統計量 $T$ を、パラメータ $\theta$ に対する十分統計量 sufficient statistic という。

特に、十分統計量が $$\begin{array}{r}\mathit{T}=(T_1,T_2,\cdots ,T_k)\end{array}$$ というように、 確率ベクトルであるとき、それを結合十分統計量 joint sufficient statistic という。

フィッシャー・ネイマンの因子分解定理

最小十分統計量

十分統計量の関数がすべて十分統計量であるとは限らないが、十分統計量 $T$ が、$T=H\left(U\right)$ の形をしていれば、$U$ の値がわかれば、$T$ の値もわかるのであるから、$U$ もまた十分統計量である。特に、ほかのすべての $\theta$ に関する十分統計量の関数となっている十分統計量を $\theta$ に関する最小十分統計量 minimal sufficient statistic という。これは、パラメータに関する情報を失うことなくデータを最小十分統計量より縮約できる統計量はないということを意味している。

完備十分統計量

十分統計量 $T=T\left(X\right)$ の任意の関数 $g\left(T\right)$ について、任意の $\theta$ に対して $g\left(T\right)$ の期待値が0になるのは、 $$\begin{array}{r}g\left(T\right)=0\end{array}$$ の場合にしかあり得ないとき、 $T\left(X\right)$ は完備十分統計量 complete sufficient statistic であるという。 $$\begin{array}{r}E\left\{g\left(T\right)\right\}=0\Rightarrow g\left(T\right)=0\end{array}$$

参考文献

• 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.198-202
• 竹村 彰通 著. 現代数理統計学. 創文社, 1991, p.103-119
• 久保川 達也 著, 新井 仁之, 小林 俊行, 斎藤 毅, 吉田 朋広 編. 現代数理統計学の基礎. 共立出版, 2017, p.116-119

関連記事

• 統計モデル
• 推定量の評価
• 最尤推定法とモーメント法
• 区間推定と信頼区間
• フィッシャー・ネイマンの因子分解定理
• 代表的な確率分布の十分統計量
• 指数型分布族
• 統計的推定
• 条件付きロジスティック・モデル