t分布の定義と概要（確率密度関数の導出付き）

（i）すべての $x$ に関して、$f\left(x\right)\ge 0$ $$\begin{array}{c}0<n,0<B(\frac{n}{2},\frac{1}{2})\Rightarrow 0<\frac{1}{\sqrt{n}\cdot B(\frac{n}{2},\frac{1}{2})}\\ 0<x^2\Rightarrow 0<{(1+\frac{x^2}{n})}^{-\frac{n+1}{2}}\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{n}\cdot B(\frac{n}{2},\frac{1}{2})}{(1+\frac{x^2}{n})}^{-\frac{n+1}{2}}\ge 0\end{array}$$ （ii）すべての確率の和が1 $$\begin{array}{rl}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{n}\cdot B(\frac{n}{2},\frac{1}{2})}{(1+\frac{x^2}{n})}^{-\frac{n+1}{2}}dx\\ & =\frac{1}{\sqrt{n}\cdot B(\frac{n}{2},\frac{1}{2})}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{x^2}{n})}^{-\frac{n+1}{2}}dx\end{array}$$ ここで、$f\left(x\right)$ は、偶関数 $f\left(x\right)=f(-x)$ なので、偶関数の性質 ${\int }_{-a}^{a}f\left(x\right)dx=2{\int }_0^{a}f\left(x\right)dx$ より、 $$\begin{array}{r}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx=\frac{2}{\sqrt{n}\cdot B(\frac{n}{2},\frac{1}{2})}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{x^2}{n})}^{-\frac{n+1}{2}}dx\end{array}$$ ここで、以下のように変数変換すると、 $$\begin{array}{c}{(1+\frac{x^2}{n})}^{-1}=u\iff x=\sqrt{n(\frac{1}{u}-1)}\\ \frac{dx}{du}=-\frac{\sqrt{n}}{2u^2\sqrt{(\frac{1}{u}-1)}}\Rightarrow dx=-\frac{\sqrt{n}}{2u^2\sqrt{(\frac{1}{u}-1)}}du\\ x:0\to \mathrm{\infty }\Rightarrow t:1\to 0\end{array}$$ となるので、 置換積分法により、 $$\begin{array}{rl}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx& =\frac{2}{\sqrt{n}\cdot B(\frac{n}{2},\frac{1}{2})}{\int }_1^0{u}^{\frac{n+1}{2}}\{-\frac{\sqrt{n}}{2u^2\sqrt{(\frac{1}{u}-1)}}\}du\\ & =\frac{1}{B(\frac{n}{2},\frac{1}{2})}{\int }_0^1{u}^{\frac{n+1}{2}-2-\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{(1-u)}}du\\ & =\frac{1}{B(\frac{n}{2},\frac{1}{2})}{\int }_0^1{u}^{\frac{n}{2}-2}{(1-u)}^{-\frac{1}{2}}du\end{array}$$ ベータ関数の定義式 $B(\alpha ,\beta )={\int }_0^1{x}^{\alpha -1}{(1-x)}^{\beta -1}dx$ により、 $$\begin{array}{r}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx=\frac{1}{B(\frac{n}{2},\frac{1}{2})}\cdot B(\frac{n}{2},\frac{1}{2})=1\end{array}$$ よって、確率密度関数の定義を満たしているため、確率密度関数である。 $◼$

確率変数 $Z,W$ の確率密度関数は、 $$\begin{array}{c}\begin{array}{cc}g\left(z\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}& -\mathrm{\infty }<z<\mathrm{\infty }\end{array}\\ h\left(w\right)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{w}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{w}{2}}& 0\le w\\ 0& w<0\end{array}\end{array}$$ 確率変数の独立性の定義式 $f(x,y)=g\left(x\right)\cdot h\left(y\right)$ より、同時確率密度関数は、 $$\begin{array}{r}f(w,z)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{w}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{w}{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}\end{array}$$ ここで、以下のように変数変換すると、 $$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}u=w\\ t=\frac{z\sqrt{n}}{\sqrt{w}}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}w=u\\ z=\frac{\sqrt{u}}{\sqrt{n}}t\end{array}\\ \begin{array}{c}w:0\to \mathrm{\infty }\\ z:-\mathrm{\infty }\to \mathrm{\infty }\end{array}\Rightarrow \begin{array}{c}u:0\to \mathrm{\infty }\\ t:-\mathrm{\infty }\to \mathrm{\infty }\end{array}\end{array}$$ 変数変換のヤコビアンは、 $$\begin{array}{rl}\left|J\right|& =\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial w}{\partial u}& \frac{\partial z}{\partial u}\\ \frac{\partial w}{\partial t}& \frac{\partial z}{\partial t}\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{cc}1& \frac{t}{2\sqrt{un}}\\ 0& \frac{\sqrt{u}}{\sqrt{n}}\end{array}\right|\\ & =|\frac{\sqrt{u}}{\sqrt{n}}+0|\\ & =\frac{\sqrt{u}}{\sqrt{n}}\end{array}$$ 変数変換後の同時確率密度関数の公式 $g(u,t)=f\{w(u,t),z(u,t)\}\left|J\right|$ より、 $$\begin{array}{rl}g(u,t)& =\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{u}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{u}{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{u}{2n}{t}^2}\cdot \frac{\sqrt{u}}{\sqrt{n}}\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }\cdot 2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}\cdot u^{\frac{n}{2}-1}\cdot e^{-\frac{u}{2}(1+\frac{t^2}{n})}\cdot \frac{\sqrt{u}}{\sqrt{n}}\end{array}$$ 周辺確率分布の定義式 $g\left(x\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dy$ より、 $$\begin{array}{rl}k\left(t\right)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\cdot 2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}\cdot u^{\frac{n}{2}-1}\cdot e^{-\frac{u}{2}(1+\frac{t^2}{n})}\cdot \frac{\sqrt{u}}{\sqrt{n}}du\\ & =\frac{1}{\sqrt{2n\pi }\cdot 2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{u}^{\frac{n}{2}+\frac{1}{2}-1}\cdot e^{-\frac{u}{2}(1+\frac{t^2}{n})}du\end{array}$$ ガンマ関数の公式 $\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{{\beta }^{\alpha }}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}dx$ より、$\alpha =\frac{n+1}{2},\beta =\frac{1}{2}(1+\frac{t^2}{n})$ とすると、 $$\begin{array}{rl}k\left(t\right)& =\frac{1}{\sqrt{2n\pi }\cdot 2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n+1}{2}\right)\cdot 2^{\frac{n+1}{2}}\cdot {(1+\frac{t^2}{n})}^{-\frac{n+1}{2}}\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi }\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{(1+\frac{t^2}{n})}^{-\frac{n+1}{2}}\end{array}$$ また、ガンマ関数の性質 $\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$ より、 $$\begin{array}{r}k\left(t\right)=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{(1+\frac{t^2}{n})}^{-\frac{n+1}{2}}\end{array}$$ ベータ関数とガンマ関数の関係 $B(\alpha ,\beta )=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)\mathrm{\Gamma }\left(\beta \right)}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )}$ より、 $$\begin{array}{r}k\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{n}\cdot B(\alpha ,\beta )}{(1+\frac{t^2}{n})}^{-\frac{n+1}{2}}\end{array}$$ $◼$