ラオ・ブラックウェルの定理の証明

十分統計量の定義により、$T^\ast$ はパラメータ $\theta$ に依存しないので、推定量である。

平均2乗誤差の定義式より、 \begin{align} MSE \left(T,\theta\right)=E \left[ \left\{T-\theta\right\}^2\right]&=V \left(T\right)+ \left[E \left(T\right)-\theta\right]^2\\ &=V \left(T^\ast\right)+ \left[E \left(T^\ast\right)-\theta\right]^2 \end{align} 条件付き期待値の性質 $E \left(X\right)=E \left[E \left(X\middle| Y\right)\right]$ より、 \begin{align} E \left[T^\ast\right]=E \left[E \left(T\middle| S\right)\right]=E \left(T\right) \end{align} したがって、偏りはいずれの推定量も同じ値となる。

条件付き分散の性質 $V \left(X\right)=E \left[V \left(X\middle| Y\right)\right]+V \left[E \left(X\middle| Y\right)\right]$ より、 \begin{align} V \left(T\right)=E \left[V \left(T\middle| S\right)\right]+V \left[E \left(T\middle| S\right)\right]=E \left[V \left(T\middle| S\right)\right]+V \left[T^\ast\right] \geq V \left[T^\ast\right] \end{align} したがって、他の任意の $T$ の平均2乗誤差は、$T^\ast$ の平均2乗誤差よりも $E \left[V \left(T\middle| S\right)\right]$ だけ大きいので、 \begin{align} E \left[ \left\{T^\ast-\theta\right\}^2\right] \le E \left[ \left\{T-\theta\right\}^2\right] \end{align} また、$T$ が不偏推定量 $E \left(T\right)=\theta$ であれば、 \begin{align} E \left(T\right)=E \left[E \left(T\middle| S\right)\right]=E \left[T^\ast\right]=\theta \end{align} なので、$T^\ast$ もまた不偏推定量である。 $\blacksquare$