ラオ・ブラックウェルの定理の証明-あるノマドの知の旅路～数学・統計学への道

ラオ・ブラックウェルの定理の証明

公開日： 2023/04/19

本稿では、ラオ・ブラックウェルの定理を証明しています。

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目次[非表示]

1.【定理】ラオ・ブラックウェルの定理
- 1.1.証明
2.参考文献
3.関連記事

【定理】ラオ・ブラックウェルの定理

【定理】
ラオ・ブラックウェルの定理
Rao-Blackwell Theorem

$S (X)$ をパラメータ $θ$ の十分統計量のうちのひとつとし、 $T = T (X)$ を $θ$ のある統計量とする。

$S (X)$ で条件付けた $T$ の期待値 $\begin{array}{r} T^{*} = E {T (X) | S (X)} \end{array}$ によって定義される推定量 $T^{*}$ について、 $T^{*}$ の平均2乗誤差は他の任意の $T$ の平均2乗誤差以下になる、すなわち、 $\begin{array}{r} E [{T^{*} - θ}^{2}] \leq E [{T - θ}^{2}] \end{array}$ が成り立つ。

証明

十分統計量の定義により、 $T^{*}$ はパラメータ $θ$ に依存しないので、推定量である。

平均2乗誤差の定義式より、 $\begin{aligned} M S E (T, θ) = E [{T - θ}^{2}] & = V (T) + {[E (T) - θ]}^{2} \\ = V (T^{*}) + {[E (T^{*}) - θ]}^{2} \end{aligned}$ 条件付き期待値の性質 $E (X) = E [E (X | Y)]$ より、 $\begin{array}{r} E [T^{*}] = E [E (T | S)] = E (T) \end{array}$ したがって、偏りはいずれの推定量も同じ値となる。

条件付き分散の性質 $V (X) = E [V (X | Y)] + V [E (X | Y)]$ より、 $\begin{array}{r} V (T) = E [V (T | S)] + V [E (T | S)] = E [V (T | S)] + V [T^{*}] \geq V [T^{*}] \end{array}$ したがって、他の任意の $T$ の平均2乗誤差は、 $T^{*}$ の平均2乗誤差よりも $E [V (T | S)]$ だけ大きいので、 $\begin{array}{r} E [{T^{*} - θ}^{2}] \leq E [{T - θ}^{2}] \end{array}$ また、 $T$ が不偏推定量 $E (T) = θ$ であれば、 $\begin{array}{r} E (T) = E [E (T | S)] = E [T^{*}] = θ \end{array}$ なので、 $T^{*}$ もまた不偏推定量である。 $◼$

参考文献

野田一雄, 宮岡悦良著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.214-215
Rao, C.R.. Information and the Accuracy Attainable in the Estimation of Statistical Parameters. Bulletin of the Calcutta Mathematical Society. 1945, 37, p.81-91, https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0919-5_16
Blackwell, D. Conditional Expectation and Unbiased Sequential Estimation. The Annals of Mathematical Statistics. 1947, 18(1), p.105-110, https://www.jstor.org/stable/2236107

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