大標本における母平均の差に関する検定の導出

本稿では、大標本における母平均の差に関する検定を導出しています。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

データの形式

確率変数 $X,Y$ が互いに独立に、それぞれ平均が ${\mu }_X,{\mu }_Y$、分散が ${\sigma }_X^2,{\sigma }_Y^2$ である任意の確率分布 $$\begin{array}{r}{\mathrm{P}}_X({\mu }_X,{\sigma }_X^2){\mathrm{P}}_Y({\mu }_Y,{\sigma }_Y^2)\end{array}$$ に従い、 この分布からの大きさ $n,m$ の無作為標本を $$\begin{array}{r}\mathit{X}=\{X_1,X_2,\cdots X_n\}\mathit{Y}=\{Y_1,Y_2,\cdots Y_m\}\end{array}$$ それぞれの標本平均と標本不偏分散を $$\begin{array}{c}\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\overline{Y}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^n{Y}_i\\ s_X^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X})s_Y^2=\frac{1}{m-1}\sum _{i=1}^m(Y_i-\overline{Y})\end{array}$$ とし、 サンプルサイズが十分に大きく、中心極限定理が成り立ち、かつ、母分散が標本不偏分散で近似できる $$\begin{array}{c}{\sigma }_X^2\cong s_X^2{\sigma }_Y^2\cong s_Y^2\end{array}$$ とする。

【定理】大標本における母平均の差に関する検定

Step.1 検定統計量の対立仮説・帰無仮説における分布

（i）対立仮説における分布
中心極限定理により、標本平均 $\overline{X},\overline{Y}$ について、 $$\begin{array}{r}\overline{X}\sim \mathrm{N}({\mu }_X,\frac{{\sigma }_X^2}{n})\overline{Y}\sim \mathrm{N}({\mu }_Y,\frac{{\sigma }_Y^2}{m})\end{array}$$ 標本平均の差を $\overline{d}=\overline{X}-\overline{Y}$ とすると、正規分布の再生性より、 $$\begin{array}{r}\overline{X}-\overline{Y}\sim \mathrm{N}({\mu }_X-{\mu }_Y,\frac{{\sigma }_X^2}{n}+\frac{{\sigma }_Y^2}{m})\end{array}$$ 母分散が標本不偏分散で近似できるとき、 $$\begin{array}{r}\overline{d}\sim \mathrm{N}({\mu }_X-{\mu }_Y,\frac{s_X^2}{n}+\frac{s_Y^2}{m})\end{array}$$ （ii）帰無仮説における分布
帰無仮説 $H_0:{\mu }_X={\mu }_Y$ における標本平均の差の分布は、 $$\begin{array}{r}\overline{d}\sim N(0,\frac{s_X^2}{n}+\frac{s_Y^2}{m})\end{array}$$ 帰無仮説において、標本平均の差 $\overline{d}$ を標準化した値を $$\begin{array}{c}{Z}_0=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\varphi }\\ {\varphi }^2=\frac{s_X^2}{n}+\frac{s_Y^2}{m}\end{array}$$ とすると、 標準化変換の性質より、 $$\begin{array}{r}{Z}_0\sim N(0,1)\end{array}$$

Step.2 検定関数と棄却域の型

（I）両側検定
ネイマン・ピアソンの基本定理により、次の棄却域と検定関数 $\phi (\theta ;\mathit{x})$ をもつ検定が漸近的に有意水準を $\alpha$ とする一様最強力不偏検定となる。
$$\begin{array}{}\text{(1)}& \phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}a\le T\left(\mathit{X}\right)\le b& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ T\left(\mathit{X}\right)<a\mathrm{or}b<T\left(\mathit{X}\right)& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ （II）片側検定
ネイマン・ピアソンの基本定理と単調尤度比の原理により、次の棄却域と検定関数 $\phi (\theta ;\mathit{x})$ をもつ検定が漸近的に有意水準を $\alpha$ とする一様最強力検定となる。
検定A $$\begin{array}{}\text{(2)}& \phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}T\left(\mathit{X}\right)<a& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ a\le T\left(\mathit{X}\right)& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ 検定B $$\begin{array}{}\text{(3)}& \phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}b<T\left(\mathit{X}\right)& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ T\left(\mathit{X}\right)\le b& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$

Step.3 棄却域の設定

（I）両側検定
パーセント点の定義と標準正規分布の対称性から、 $$\begin{array}{r}P(-Z_{0.5\alpha }\le Z_0\le Z_{0.5\alpha })=1-\alpha \end{array}$$ したがって、式 $(1)$ において、$a=-Z_{0.5\alpha },b=Z_{0.5\alpha }$ とすると、 $$\begin{array}{c}\phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}-Z_{0.5\alpha }\le Z_0\le Z_{0.5\alpha }& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ Z_0\le -Z_{0.5\alpha }\mathrm{or}{Z}_{0.5\alpha }\le Z_0& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ （II-A）片側検定A
パーセント点の定義より、 $$\begin{array}{r}P(Z_0\le Z_{\alpha })=1-\alpha \end{array}$$ したがって、式 $(2)$ において、$a=Z_{\alpha }$ とすると、 $$\begin{array}{r}\phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}{Z}_0<Z_{\alpha }& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ Z_{\alpha }\le Z_0& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ （II-B）片側検定B
パーセント点の定義より、 $$\begin{array}{r}P(-Z_{\alpha }\le Z_0)=1-\alpha \end{array}$$ したがって、式 $(3)$ において、$b=-Z_{\alpha }$ とすると、 $$\begin{array}{r}\phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}-Z_{\alpha }<Z_0& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ Z_0\le -Z_{\alpha }& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ $◼$

参考文献

• 小寺 平治 著. 数理統計：明解演習. 共立出版, 1986, p.129
• 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.278

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