本稿では、大標本における母平均の差に関する検定を導出しています。
なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
- スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
- $Z_\alpha$ は標準正規分布の上側 $100\alpha\%$ 点を表しています。
データの形式
確率変数 $X,Y$ が互いに独立に、それぞれ平均が $\mu_X,\mu_Y$、分散が $\sigma_X^2,\sigma_Y^2$ である任意の確率分布 \begin{align} {\mathrm{P}}_X \left(\mu_X,\sigma_X^2\right) \quad {\mathrm{P}}_Y \left(\mu_Y,\sigma_Y^2\right) \end{align} に従い、 この分布からの大きさ $n,m$ の無作為標本を \begin{align} \boldsymbol{X}= \left\{X_1,X_2, \cdots X_n\right\} \quad \boldsymbol{Y}= \left\{Y_1,Y_2, \cdots Y_m\right\} \end{align} それぞれの標本平均と標本不偏分散を \begin{gather} \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i \quad \bar{Y}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{n}Y_i\\ s_X^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} \left(X_i-\bar{X}\right) \quad s_Y^2=\frac{1}{m-1}\sum_{i=1}^{m} \left(Y_i-\bar{Y}\right) \end{gather} とし、 サンプルサイズが十分に大きく、中心極限定理が成り立ち、かつ、母分散が標本不偏分散で近似できる \begin{gather} \sigma_X^2\cong s_X^2 \quad \sigma_Y^2\cong s_Y^2 \end{gather} とする。
【定理】大標本における母平均の差に関する検定
【定理】
大標本における母平均の差に関する検定
Population Mean Difference of Any Distributions with Large-Sample
大標本における母平均の差 $d=\mu_X-\mu_Y$ に関する検定問題
（I）両側検定
\begin{align}
H_0:\mu_X=\mu_Y \quad H_1:\mu_X \neq \mu_Y
\end{align}
（II-A）片側検定A
\begin{align}
H_0:\mu_X \le \mu_Y \quad H_1:\mu_X \gt \mu_Y
\end{align}
（II-B）片側検定B
\begin{align}
H_0:\mu_X \geq \mu_Y \quad H_1:\mu_X \lt \mu_Y
\end{align}
を考える場合、
検定統計量を
\begin{gather}
Z_0=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\phi}\\
\phi^2=\frac{s_X^2}{n}+\frac{s_Y^2}{m}
\end{gather}
として、
（I）両側検定
以下の棄却域と検定関数 $\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)$ をもつ検定は有意水準を $\alpha$ とする一様最強力不偏検定となる。
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)= \left\{\begin{matrix}-Z_{0.5\alpha} \le Z_0 \le Z_{0.5\alpha}&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\Z_0 \le -Z_{0.5\alpha} \quad \mathrm{or} \quad Z_{0.5\alpha} \le Z_0&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.
\end{align}
（II）片側検定
以下の棄却域と検定関数 $\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)$ をもつ検定は有意水準を $\alpha$ とする一様最強力検定となる。
（II-A）片側検定A
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)= \left\{\begin{matrix}Z_0 \lt Z_\alpha&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\Z_\alpha \le Z_0&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.
\end{align}
（II-B）片側検定B
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)= \left\{\begin{matrix}-Z_\alpha \lt Z_0&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\Z_0 \le -Z_\alpha&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.
\end{align}
Step.1 検定統計量の対立仮説・帰無仮説における分布
（i）対立仮説における分布
中心極限定理により、標本平均 $\bar{X},\bar{Y}$ について、
\begin{align}
\bar{X} \sim \mathrm{N} \left(\mu_X,\frac{\sigma_X^2}{n}\right) \quad \bar{Y} \sim \mathrm{N} \left(\mu_Y,\frac{\sigma_Y^2}{m}\right)
\end{align}
標本平均の差を $\bar{d}=\bar{X}-\bar{Y}$ とすると、正規分布の再生性より、
\begin{align}
\bar{X}-\bar{Y} \sim \mathrm{N} \left(\mu_X-\mu_Y,\frac{\sigma_X^2}{n}+\frac{\sigma_Y^2}{m}\right)
\end{align}
母分散が標本不偏分散で近似できるとき、
\begin{align}
\bar{d} \sim \mathrm{N} \left(\mu_X-\mu_Y,\frac{s_X^2}{n}+\frac{s_Y^2}{m}\right)
\end{align}
（ii）帰無仮説における分布
帰無仮説 $H_0:\mu_X=\mu_Y$ における標本平均の差の分布は、
\begin{align}
\bar{d} \sim N \left(0,\frac{s_X^2}{n}+\frac{s_Y^2}{m}\right)
\end{align}
帰無仮説において、標本平均の差 $\bar{d}$ を標準化した値を
\begin{gather}
Z_0=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\phi}\\
\phi^2=\frac{s_X^2}{n}+\frac{s_Y^2}{m}
\end{gather}
とすると、
標準化変換の性質より、
\begin{align}
Z_0 \sim N \left(0,1\right)
\end{align}
Step.2 検定関数と棄却域の型
（I）両側検定
ネイマン・ピアソンの基本定理により、次の棄却域と検定関数 $\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)$ をもつ検定が漸近的に有意水準を $\alpha$ とする一様最強力不偏検定となる。
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}a \le T \left(\boldsymbol{X}\right) \le b&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\T \left(\boldsymbol{X}\right) \lt a \quad \mathrm{or} \quad b \lt T \left(\boldsymbol{X}\right)&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.\tag{1}
\end{align}
（II）片側検定
ネイマン・ピアソンの基本定理と単調尤度比の原理により、次の棄却域と検定関数 $\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)$ をもつ検定が漸近的に有意水準を $\alpha$ とする一様最強力検定となる。
検定A
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}T \left(\boldsymbol{X}\right) \lt a&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\a \le T \left(\boldsymbol{X}\right)&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.\tag{2}
\end{align}
検定B
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}b \lt T \left(\boldsymbol{X}\right)&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\T \left(\boldsymbol{X}\right) \le b&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.\tag{3}
\end{align}
Step.3 棄却域の設定
（I）両側検定
パーセント点の定義と標準正規分布の対称性から、
\begin{align}
P \left(-Z_{0.5\alpha} \le Z_0 \le Z_{0.5\alpha}\right)=1-\alpha
\end{align}
したがって、式 $(1)$ において、$a=-Z_{0.5\alpha},b=Z_{0.5\alpha}$ とすると、
\begin{gather}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}-Z_{0.5\alpha} \le Z_0 \le Z_{0.5\alpha}&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\Z_0 \le -Z_{0.5\alpha} \quad \mathrm{or} \quad Z_{0.5\alpha} \le Z_0&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.\\
\end{gather}
（II-A）片側検定A
パーセント点の定義より、
\begin{align}
P \left(Z_0 \le Z_\alpha\right)=1-\alpha
\end{align}
したがって、式 $(2)$ において、$a=Z_\alpha$ とすると、
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}Z_0 \lt Z_\alpha&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\Z_\alpha \le Z_0&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.
\end{align}
（II-B）片側検定B
パーセント点の定義より、
\begin{align}
P \left(-Z_\alpha \le Z_0\right)=1-\alpha
\end{align}
したがって、式 $(3)$ において、$b=-Z_\alpha$ とすると、
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}-Z_\alpha \lt Z_0&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\Z_0 \le -Z_\alpha&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.
\end{align}
$\blacksquare$
参考文献
- 小寺 平治 著. 数理統計：明解演習. 共立出版, 1986, p.129
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.278
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