本稿では、多項分布の定義と概要についてまとめています。確率関数であることの証明、期待値・分散、共分散、期待値ベクトルと分散・共分散行列の紹介が含まれます。
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多項分布
定義・意味
$k$ 個の事象 \begin{align} \boldsymbol{A}= \left\{A_1,A_2,A_3, \cdots ,A_k\right\} \end{align} のいずれかが それぞれ確率 \begin{align} \boldsymbol{p}= \left\{p_1,p_2,p_3, \cdots ,p_k\right\} \end{align} で起こる試行を $n$ 回繰り返したときに、 $\boldsymbol{A}= \left\{A_1,A_2,A_3, \cdots ,A_k\right\}$ が起こる回数 \begin{align} \boldsymbol{X}= \left\{X_1,X_2,X_3, \cdots ,X_k\right\} \end{align} が従う離散型同時確率分布を多項分布 multinomial distribution という。
同時確率関数
同時確率関数 $f \left(\boldsymbol{x}\right)$ は、 \begin{gather} f \left(\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}\displaystyle\frac{n!}{x_1! \cdots x_k!}p_1^{x_1} \cdots p_k^{x_k}&x_i=0,1, \cdots ,n\\0&\mathrm{\mathrm{other}}\\\end{matrix}\right.\\ x_1+x_2+ \cdots +x_k=n\\ p_1+p_2+ \cdots +p_k=1 \end{gather} で与えられる。
略記法
また、多項分布は、 \begin{align} \mathrm{MN} \left(n,\boldsymbol{p}\right) \end{align} と略記されることがある。
確率関数であることの証明
（i）すべての $x$ に関して、$f \left(x\right) \geq 0$
\begin{gather}
0 \le p_i\Rightarrow0 \le p_1^{x_i}\\
0 \lt n\Rightarrow0 \lt n!\\
0 \le x_i\Rightarrow0 \le \frac{1}{x_i!}
\end{gather}
したがって、
\begin{align}
f \left(\boldsymbol{x}\right)=\ \frac{n!}{x_1! \cdots x_k!}p_1^{x_1} \cdots p_k^{x_k} \geq 0
\end{align}
（ii）すべての確率の和が1
多項定理
\begin{align}
\left(x_1+x_2+ \cdots +x_k\right)^n=\sum_{n_1+n_2+ \cdots +n_k=n}{\frac{n!}{n_1!n_2! \cdots n_k!}x_1^{n_1}x_2^{n_2} \cdots x_k^{n_k}}
\end{align}
より、
\begin{align}
\sum f \left(x\right)&=\sum_{p_1+p_2+ \cdots +p_k=1}{\frac{n!}{x_1! \cdots x_k!}p_1^{x_1} \cdots p_k^{x_k}}\\
&= \left(p_1+p_2+ \cdots +p_k\right)^n\\
&=1
\end{align}
よって、確率関数の定義を満たしているため、確率関数である。
$\blacksquare$
重要事項のまとめ
略記法
\begin{align} \mathrm{MN} \left(n,\boldsymbol{p}\right) \end{align}
パラメータ
\begin{gather} n= \left\{1,2, \cdots \right\}\\ \boldsymbol{p}= \left\{0 \le p_1,p_2,p_3, \cdots ,p_k \le 1:\sum_{i=1}^{k}p_i=1\right\} \end{gather}
同時確率関数
\begin{gather} f \left(\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}\displaystyle\frac{n!}{x_1! \cdots x_k!}p_1^{x_1} \cdots p_k^{x_k}&x_i=0,1, \cdots ,n\\0&\mathrm{\mathrm{other}}\\\end{matrix}\right.\\ x_1+x_2+ \cdots +x_k=n\\ p_1+p_2+ \cdots +p_k=1 \end{gather}
期待値
\begin{align} E \left(X_i\right)=np_i \end{align}
分散
\begin{align} V \left(X_i\right)=np_i \left(1-p_i\right) \end{align}
共分散
\begin{align} \mathrm{Cov} \left(X_i,X_j\right)=-np_ip_j \end{align}
期待値ベクトルと分散・共分散行列
\begin{gather} E \left(\boldsymbol{X}\right)=n \left\{\begin{matrix}p_1\\p_2\\\vdots\\p_k\\\end{matrix}\right\}\\ \boldsymbol{\Sigma}=n \left\{\begin{matrix}p_1 \left(1-p_1\right)&-p_1p_2& \cdots &-p_1p_k\\-p_2p_1&p_2 \left(1-p_2\right)& \cdots &-p_2p_k\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\-p_kp_1&-p_kp_2& \cdots &p_k \left(1-p_k\right)\\\end{matrix}\right\} \end{gather}
参考文献
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.123-125
- 竹村 彰通 著. 現代数理統計学. 創文社, 1991, p.55-57
- 久保川 達也 著, 新井 仁之, 小林 俊行, 斎藤 毅, 吉田 朋広 編. 現代数理統計学の基礎. 共立出版, 2017, p.76-77
- 黒木 学 著. 数理統計学：統計的推論の基礎. 共立出版, 2020, p.93-96
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