多項分布の定義と概要

本稿では、多項分布の定義と概要についてまとめています。確率関数であることの証明、期待値・分散、共分散、期待値ベクトルと分散・共分散行列の紹介が含まれます。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

多項分布

定義・意味

$k$ 個の事象 $$\begin{array}{r}\mathit{A}=\{A_1,A_2,A_3,\cdots ,A_k\}\end{array}$$ のいずれかが それぞれ確率 $$\begin{array}{r}\mathit{p}=\{p_1,p_2,p_3,\cdots ,p_k\}\end{array}$$ で起こる試行を $n$ 回繰り返したときに、 $\mathit{A}=\{A_1,A_2,A_3,\cdots ,A_k\}$ が起こる回数 $$\begin{array}{r}\mathit{X}=\{X_1,X_2,X_3,\cdots ,X_k\}\end{array}$$ が従う離散型同時確率分布を多項分布 multinomial distribution という。

同時確率関数

同時確率関数 $f\left(\mathit{x}\right)$ は、 $$\begin{array}{c}f\left(\mathit{x}\right)=\{\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{n!}{x_1!\cdots x_k!}{p}_1^{x_1}\cdots p_k^{x_k}}& x_i=0,1,\cdots ,n\\ 0& \mathrm{other}\end{array}\\ x_1+x_2+\cdots +x_k=n\\ p_1+p_2+\cdots +p_k=1\end{array}$$ で与えられる。

略記法

また、多項分布は、 $$\begin{array}{r}\mathrm{MN}(n,\mathit{p})\end{array}$$ と略記されることがある。

確率関数であることの証明

重要事項のまとめ

略記法

$$\begin{array}{r}\mathrm{MN}(n,\mathit{p})\end{array}$$

パラメータ

$$\begin{array}{c}n=\{1,2,\cdots \}\\ \mathit{p}=\{0\le p_1,p_2,p_3,\cdots ,p_k\le 1:\sum _{i=1}^k{p}_i=1\}\end{array}$$

同時確率関数

$$\begin{array}{c}f\left(\mathit{x}\right)=\{\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{n!}{x_1!\cdots x_k!}{p}_1^{x_1}\cdots p_k^{x_k}}& x_i=0,1,\cdots ,n\\ 0& \mathrm{other}\end{array}\\ x_1+x_2+\cdots +x_k=n\\ p_1+p_2+\cdots +p_k=1\end{array}$$

期待値

$$\begin{array}{r}E\left(X_i\right)=n{p}_i\end{array}$$

分散

$$\begin{array}{r}V\left(X_i\right)=n{p}_i(1-p_i)\end{array}$$

共分散

$$\begin{array}{r}\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=-n{p}_i{p}_j\end{array}$$

期待値ベクトルと分散・共分散行列

$$\begin{array}{c}E\left(\mathit{X}\right)=n\left\{\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ ⋮\\ p_k\end{array}\right\}\\ \mathbf{\Sigma }=n\left\{\begin{array}{cccc}{p}_1(1-p_1)& -p_1{p}_2& \cdots & -p_1{p}_k\\ -p_2{p}_1& p_2(1-p_2)& \cdots & -p_2{p}_k\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ -p_k{p}_1& -p_k{p}_2& \cdots & p_k(1-p_k)\end{array}\right\}\end{array}$$

参考文献

• 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.123-125
• 竹村 彰通 著. 現代数理統計学. 創文社, 1991, p.55-57
• 久保川 達也 著, 新井 仁之, 小林 俊行, 斎藤 毅, 吉田 朋広 編. 現代数理統計学の基礎. 共立出版, 2017, p.76-77
• 黒木 学 著. 数理統計学：統計的推論の基礎. 共立出版, 2020, p.93-96

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