フィッシャー・ネイマンの因子分解定理の証明

（i）十分性
$\mathit{X}=(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ の同時確率関数を $f(\mathit{x};\theta )$ として、与式のような分解 $$\begin{array}{r}f(\mathit{x};\theta )=g(t;\theta )\cdot h\left(\mathit{x}\right)\end{array}$$ ができるような非負の関数 $$\begin{array}{r}g(t;\theta ),h\left(\mathit{x}\right)\end{array}$$ が存在するとする。 ここで、統計量 $T\left(\mathit{X}\right)$ は、確率関数ベクトル $\mathit{X}$ の関数なので、$\mathit{X}$ の値（の組み合わせ）によって1つに定まる。よって、$T\left(\mathit{X}\right)=t$ となるような $\mathit{X}$ の同時確率を考えることで、統計量 $T$ の確率質量関数は、 $$\begin{array}{rl}f(t;\theta )& =\sum _{\mathit{X}:T\left(\mathit{X}\right)=t}f(\mathit{x};\theta )\\ & =\sum _{\mathit{X}:T\left(\mathit{X}\right)=t}g(t;\theta )\cdot h\left(\mathit{x}\right)\\ & =g(t;\theta )\sum _{\mathit{X}:T\left(\mathit{X}\right)=t}h\left(\mathit{x}\right)\end{array}$$ と表すことができる。 このとき、$T=t$ が与えられているときの $\mathit{X}=(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ の条件付き確率分布は、条件付き確率の定義より $$\begin{array}{r}P(\mathit{X}=\mathit{x}|T=t)=\frac{P(\mathit{X}=\mathit{x},T=t)}{P(T=t)}\end{array}$$ $T\left(\mathit{x}\right)=t$ という条件下 $P(\mathit{X}=\mathit{x},T=t)=P(\mathit{X}=\mathit{x})$ なので、 $$\begin{array}{rl}P(\mathit{X}=\mathit{x}|T=t)& =\frac{P(\mathit{X}=\mathit{x})}{P(T=t)}\\ & =\frac{f(\mathit{x};\theta )}{f(t;\theta )}\\ & =\frac{g(t;\theta )\cdot h\left(x\right)}{g(t;\theta )\sum _{\mathit{X}:T\left(\mathit{X}\right)=t}h\left(\mathit{x}\right)}\\ & =\frac{h\left(\mathit{x}\right)}{\sum _{\mathit{X}:T\left(\mathit{X}\right)=t}h\left(\mathit{x}\right)}\end{array}$$ したがって、$T=t$ が与えられているときの $\mathit{X}=(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ の条件付き確率分布は、$\theta$ に依存しない。よって、$T$ は十分統計量である。

（ii）必要性
$T$ を十分統計量とし、$P(\mathit{X}=\mathit{x})=0$ のときは、$h\left(\mathit{x}\right)=0$ とし、すべての $T$ の値 $t$ に関して、 $$\begin{array}{r}\begin{array}{cc}h\left(\mathit{x}\right)=P(\mathit{X}=\mathit{x}|T=t:\theta )=P(\mathit{X}=\mathit{x}|T=t)& g(t;\theta )=P(T=t:\theta )\end{array}\end{array}$$ とおくと、 確率の乗法定理 $P(\mathit{X}=\mathit{x},T=t)=P(T=t)\cdot P(\mathit{X}=\mathit{x}|T=t)$ より、 $$\begin{array}{rl}f(\mathit{x};\theta )& =P(\mathit{X}=\mathit{x}:\theta )\\ & =P(\mathit{X}=\mathit{x},T=t)\\ & =P(T=t)\cdot P(\mathit{X}=\mathit{x}|T=t)\\ & =g(t;\theta )\cdot h\left(\mathit{x}\right)\end{array}$$ となり与式のように分解できる。 $◼$ $T$ を十分統計量とし、$T^{\prime }=r\left(T\right)$ を1-1対応とすると、$t=r^{-1}\left(t^{\prime }\right)$ であり、因子分解定理により、 $$\begin{array}{r}f(\mathit{x};\theta )=g(t;\theta )\cdot h\left(\mathit{x}\right)=g\{r^{-1}\left(t^{\prime }\right);\theta \}\cdot h\left(\mathit{x}\right)=g^{\prime }(t^{\prime };\theta )\cdot h\left(\mathit{x}\right)\end{array}$$ $◼$