ガンマ分布の確率密度関数の導出と再生性

指数分布とガンマ分布の確率密度関数は、 \begin{gather} f \left(x\right)= \left\{\begin{matrix}\lambda e^{-\lambda x}&0 \le x\\0&\mathrm{other}\\\end{matrix}\right.\\ g \left(w\right)= \left\{\begin{matrix}\displaystyle\frac{\beta^\alpha}{\Gamma \left(\alpha\right)}w^{\alpha-1}e^{-\beta w}&0 \le w\\0&\mathrm{other}\\\end{matrix}\right. \end{gather} 以下、与えられた命題が成り立つことを、任意の正の整数 $\alpha$ に関する数学的帰納法によって示す。

（i）$\alpha=1$ のとき
ガンマ分布の確率密度関数は、 \begin{align} g \left(x\right)&=\frac{\lambda^1}{\Gamma \left(1\right)}x^{1-1}e^{-\lambda x}\\ &=\frac{\lambda}{\Gamma \left(1\right)}e^{-\lambda x} \end{align} ガンマ関数の性質 $\Gamma \left(1\right)=1$ より、 \begin{align} g \left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x}=f \left(x\right) \end{align} したがって、与えられた命題は成り立つ。

（ii）$\alpha=k$ のとき
与えられた命題が成り立つ、すなわち、
確率変数の和 $W_k=X_1+X_2+ \cdots +X_k$ がガンマ分布 \begin{align} \mathrm{Ga} \left(k,\beta\right) \end{align} に従い、 $X_{k+1}$ が指数分布 \begin{align} \mathrm{Ex} \left(\beta\right) \end{align} に従い、かつ、互いに独立であるとすると、 2変数の和 \begin{align} Z=W_k+X_{k+1} \end{align} の確率密度関数は、 確率変数のたたみこみ $h \left(z\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{f \left(x\right) \cdot g \left(z-x\right)}dx$ より、 \begin{align} h \left(z\right)&=\int_{0}^{z}{\frac{\beta}{\Gamma \left(1\right)}e^{-\beta x} \cdot \frac{\beta^k}{\Gamma \left(k\right)} \left(z-x\right)^{k-1}e^{-\beta \left(z-x\right)}dx}\\ &=\frac{\beta^{k+1}}{\Gamma \left(k\right)}e^{-\beta z}\int_{0}^{z}{ \left(z-x\right)^{k-1}dx}\\ &=\frac{\beta^{k+1}}{\Gamma \left(k\right)}e^{-\beta z} \left[-\frac{1}{k} \left(z-x\right)^k\right]_0^z\\ &=\frac{\beta^{k+1}}{k\Gamma \left(k\right)}z^ke^{-\beta z} \end{align} ガンマ関数の性質 $\Gamma \left(k+1\right)=k\Gamma \left(k\right)$ より、 \begin{align} h \left(z\right)=\frac{\beta^{k+1}}{\Gamma \left(k+1\right)}z^{ \left(k+1\right)-1}e^{-\beta z} \end{align} したがって、与えられた命題は成り立つ。

（i）（ii）より、数学的帰納法によって、任意の正の整数 $\alpha$ に対し、与えられた命題は成り立つ。 $\blacksquare$

指数分布のモーメント母関数の公式より、 \begin{align} M_{X_i} \left(\theta\right)=\frac{\beta}{\beta-\theta} \end{align} モーメント母関数の性質 $M_Y \left(\theta\right)=\prod_{i=1}^{\alpha}{M_{X_i} \left(\theta\right)}$ より、 \begin{align} M_W \left(\theta\right)=\prod_{i=1}^{\alpha}\frac{\beta}{\beta-\theta}= \left(\frac{\beta}{\beta-\theta}\right)^\alpha \end{align} これは、ガンマ分布のモーメント母関数なので、モーメント母関数の一意性により、
確率変数の和 $W$ は、ガンマ分布 \begin{align} \mathrm{Ga} \left(\alpha,\beta\right) \end{align} に従う。 $\blacksquare$

ガンマ分布のモーメント母関数の公式より、 \begin{gather} M_X \left(\theta\right)= \left(\frac{\beta}{\beta-\theta}\right)^{\alpha_1}\\ M_Y \left(\theta\right)= \left(\frac{\beta}{\beta-\theta}\right)^{\alpha_2} \end{gather} モーメント母関数の性質 $M_Z \left(\theta\right)=M_X \left(\theta\right) \cdot M_Y \left(\theta\right)$ より、 \begin{align} M_Z \left(\theta\right)&= \left(\frac{\beta}{\beta-\theta}\right)^{\alpha_1} \cdot \left(\frac{\beta}{\beta-\theta}\right)^{\alpha_2}\\ &= \left(\frac{\beta}{\beta-\theta}\right)^{\alpha_1+\alpha_2} \end{align} これは、ガンマ分布のモーメント母関数 \begin{align} M_X \left(\theta\right)= \left(\frac{\beta}{\beta-\theta}\right)^\alpha \end{align} において、 \begin{align} \alpha\rightarrow\alpha_1+\alpha_2 \quad X\rightarrow Z \end{align} と置き換えたものとみなすことができる。 したがって、モーメント母関数の一意性により、確率変数 $Z$ は、ガンマ分布 \begin{align} Z \sim \mathrm{Ga} \left(\alpha_1+\alpha_2,\beta\right) \end{align} に従う。 $\blacksquare$