ガンマ分布の確率密度関数の導出と再生性

指数分布とガンマ分布の確率密度関数は、 $$\begin{array}{c}f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}\lambda e^{-\lambda x}& 0\le x\\ 0& \mathrm{other}\end{array}\\ g\left(w\right)=\{\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{w}^{\alpha -1}{e}^{-\beta w}}& 0\le w\\ 0& \mathrm{other}\end{array}\end{array}$$ 以下、与えられた命題が成り立つことを、任意の正の整数 $\alpha$ に関する数学的帰納法によって示す。

（i）$\alpha =1$ のとき
ガンマ分布の確率密度関数は、 $$\begin{array}{rl}g\left(x\right)& =\frac{{\lambda }^1}{\mathrm{\Gamma }\left(1\right)}{x}^{1-1}{e}^{-\lambda x}\\ & =\frac{\lambda }{\mathrm{\Gamma }\left(1\right)}{e}^{-\lambda x}\end{array}$$ ガンマ関数の性質 $\mathrm{\Gamma }\left(1\right)=1$ より、 $$\begin{array}{r}g\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x}=f\left(x\right)\end{array}$$ したがって、与えられた命題は成り立つ。

（ii）$\alpha =k$ のとき
与えられた命題が成り立つ、すなわち、
確率変数の和 $W_k=X_1+X_2+\cdots +X_k$ がガンマ分布 $$\begin{array}{r}\mathrm{Ga}(k,\beta )\end{array}$$ に従い、 $X_{k+1}$ が指数分布 $$\begin{array}{r}\mathrm{Ex}\left(\beta \right)\end{array}$$ に従い、かつ、互いに独立であるとすると、 2変数の和 $$\begin{array}{r}Z=W_k+X_{k+1}\end{array}$$ の確率密度関数は、 確率変数のたたみこみ $h\left(z\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)\cdot g(z-x)dx$ より、 $$\begin{array}{rl}h\left(z\right)& ={\int }_0^z\frac{\beta }{\mathrm{\Gamma }\left(1\right)}{e}^{-\beta x}\cdot \frac{{\beta }^k}{\mathrm{\Gamma }\left(k\right)}{(z-x)}^{k-1}{e}^{-\beta (z-x)}dx\\ & =\frac{{\beta }^{k+1}}{\mathrm{\Gamma }\left(k\right)}{e}^{-\beta z}{\int }_0^z{(z-x)}^{k-1}dx\\ & =\frac{{\beta }^{k+1}}{\mathrm{\Gamma }\left(k\right)}{e}^{-\beta z}{[-\frac{1}{k}{(z-x)}^k]}_0^z\\ & =\frac{{\beta }^{k+1}}{k\mathrm{\Gamma }\left(k\right)}{z}^k{e}^{-\beta z}\end{array}$$ ガンマ関数の性質 $\mathrm{\Gamma }(k+1)=k\mathrm{\Gamma }\left(k\right)$ より、 $$\begin{array}{r}h\left(z\right)=\frac{{\beta }^{k+1}}{\mathrm{\Gamma }(k+1)}{z}^{(k+1)-1}{e}^{-\beta z}\end{array}$$ したがって、与えられた命題は成り立つ。

（i）（ii）より、数学的帰納法によって、任意の正の整数 $\alpha$ に対し、与えられた命題は成り立つ。 $◼$

指数分布のモーメント母関数の公式より、 $$\begin{array}{r}{M}_{X_i}\left(\theta \right)=\frac{\beta }{\beta -\theta }\end{array}$$ モーメント母関数の性質 $M_Y\left(\theta \right)=\prod _{i=1}^{\alpha }{M}_{X_i}\left(\theta \right)$ より、 $$\begin{array}{r}{M}_W\left(\theta \right)=\prod _{i=1}^{\alpha }\frac{\beta }{\beta -\theta }={\left(\frac{\beta }{\beta -\theta }\right)}^{\alpha }\end{array}$$ これは、ガンマ分布のモーメント母関数なので、モーメント母関数の一意性により、
確率変数の和 $W$ は、ガンマ分布 $$\begin{array}{r}\mathrm{Ga}(\alpha ,\beta )\end{array}$$ に従う。 $◼$

ガンマ分布のモーメント母関数の公式より、 $$\begin{array}{c}{M}_X\left(\theta \right)={\left(\frac{\beta }{\beta -\theta }\right)}^{{\alpha }_1}\\ M_Y\left(\theta \right)={\left(\frac{\beta }{\beta -\theta }\right)}^{{\alpha }_2}\end{array}$$ モーメント母関数の性質 $M_Z\left(\theta \right)=M_X\left(\theta \right)\cdot M_Y\left(\theta \right)$ より、 $$\begin{array}{rl}{M}_Z\left(\theta \right)& ={\left(\frac{\beta }{\beta -\theta }\right)}^{{\alpha }_1}\cdot {\left(\frac{\beta }{\beta -\theta }\right)}^{{\alpha }_2}\\ & ={\left(\frac{\beta }{\beta -\theta }\right)}^{{\alpha }_1+{\alpha }_2}\end{array}$$ これは、ガンマ分布のモーメント母関数 $$\begin{array}{r}{M}_X\left(\theta \right)={\left(\frac{\beta }{\beta -\theta }\right)}^{\alpha }\end{array}$$ において、 $$\begin{array}{r}\alpha \to {\alpha }_1+{\alpha }_{2}X\to Z\end{array}$$ と置き換えたものとみなすことができる。 したがって、モーメント母関数の一意性により、確率変数 $Z$ は、ガンマ分布 $$\begin{array}{r}Z\sim \mathrm{Ga}({\alpha }_1+{\alpha }_2,\beta )\end{array}$$ に従う。 $◼$