ワイブル分布の期待値・分散の導出

（i）期待値
期待値の定義式 $E \left(X\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{x \cdot f \left(x\right)dx}$ より、 \begin{align} E \left(X\right)&=\int_{-\infty}^{0}{x \cdot 0dx}+\int_{0}^{\infty}{x \cdot f \left(x\right)dx}\\ &=\int_{0}^{\infty}{x \cdot \frac{bx^{b-1}}{a^b}e^{- \left(\frac{x}{a}\right)^b}dx}\\ &=\frac{b}{a^b}\int_{0}^{\infty}{x^be^{- \left(\frac{x}{a}\right)^b}dx} \end{align} ここで、以下のように変数変換すると、 \begin{gather} t= \left(\frac{x}{a}\right)^b\Leftrightarrow x=at^\frac{1}{b}\\ \frac{dx}{dt}=\frac{a}{b}t^{\frac{1}{b}-1}\Rightarrow dx=\frac{a}{b}t^{\frac{1}{b}-1}dt\\ x:0\rightarrow\infty \quad \Rightarrow \quad t:0\rightarrow\infty \end{gather} となるので、 置換積分法により、 \begin{align} E \left(X\right)&=\frac{b}{a^b}\int_{0}^{\infty}{ \left(at^\frac{1}{b}\right)^be^{-t} \cdot \frac{a}{b}t^{\frac{1}{b}-1}dt}\\ &=\frac{b}{a^b} \cdot \frac{a}{b} \cdot a^b\int_{0}^{\infty}{t^{\frac{b+1}{b}-1}e^{-t}dt}\\ &=a\int_{0}^{\infty}{t^{ \left(\frac{b+1}{b}\right)-1}e^{-t}dt} \end{align} ガンマ関数の定義式 $\Gamma \left(\alpha\right)=\int_{0}^{\infty}{x^{\alpha-1} \cdot e^{-x}dx}$ より、 \begin{align} \Gamma \left(\frac{b+1}{b}\right)=\int_{0}^{\infty}{t^{ \left(\frac{b+1}{b}\right)-1}e^{-t}dt} \end{align} よって、 \begin{align} E \left(X\right)=a\Gamma \left(\frac{b+1}{b}\right) \end{align} $\blacksquare$

（ii）分散
2乗の期待値の定義式 $E \left(X^2\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{x^2 \cdot f \left(x\right)dx}$ より、 \begin{align} E \left(X^2\right)&=\int_{-\infty}^{0}{x^2 \cdot 0dx}+\int_{0}^{\infty}{x^2 \cdot f \left(x\right)dx}\\ &=\int_{0}^{\infty}{x^2 \cdot \frac{bx^{b-1}}{a^b}e^{- \left(\frac{x}{a}\right)^b}dx}\\ &=\frac{b}{a^b}\int_{0}^{\infty}{x^{b+1}e^{- \left(\frac{x}{a}\right)^b}dx} \end{align} （i）と同様の変数変換を行うと、置換積分法により、 \begin{align} E \left(X^2\right)&=\frac{b}{a^b}\int_{0}^{\infty}{ \left(at^\frac{1}{b}\right)^{b+1}e^{-t} \cdot \frac{a}{b}t^{\frac{1}{b}-1}dt}\\ &=\frac{b}{a^b} \cdot \frac{a}{b} \cdot a^{b+1}\int_{0}^{\infty}{t^{\frac{b+2}{b}-1}e^{-t}dt}\\ &=a^2\int_{0}^{\infty}{t^{ \left(\frac{b+2}{b}\right)-1}e^{-t}dt} \end{align} ガンマ関数の定義式 $\Gamma \left(\alpha\right)=\int_{0}^{\infty}{x^{\alpha-1} \cdot e^{-x}dx}$ より、 \begin{align} \Gamma \left(\frac{b+2}{b}\right)=\int_{0}^{\infty}{t^{ \left(\frac{b+2}{b}\right)-1}e^{-t}dt} \end{align} よって、 \begin{align} E \left(X^2\right)=a^2\Gamma \left(\frac{b+2}{b}\right) \end{align} 分散の公式 $V \left(X\right)=E \left(X^2\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、 \begin{align} V \left(X\right)&=a^2\Gamma \left(\frac{b+2}{b}\right)-a^2 \left\{\Gamma \left(\frac{b+1}{b}\right)\right\}^2\\ &=a^2 \left[\Gamma \left(\frac{b+2}{b}\right)- \left\{\Gamma \left(\frac{b+1}{b}\right)\right\}^2\right] \end{align} $\blacksquare$