本稿では、逆数変換後の確率密度関数の公式を導出しています。
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【公式】逆数変換後の確率密度関数
【公式】
逆数変換後の確率密度関数
Probability Density Function after Reciprocal Transformation
連続型確率変数 $X$ の累積分布関数と確率密度関数をそれぞれ \begin{align} F \left(x\right) \quad f \left(x\right) \end{align} とし、 逆数変換を \begin{gather} Y=\frac{1}{X} \end{gather} とするとき、 確率変数 $Y$ の確率密度関数は、 \begin{align} g \left(y\right)=f \left(\frac{1}{y}\right) \cdot \frac{1}{y^2} \end{align} で与えられる。
導出
確率変数 $Y$ の累積分布関数を $G \left(y\right)$ とすると、累積分布関数の定義式 $F \left(x\right)=P \left(X \le x\right)$ より、 \begin{align} G \left(y\right)&=P \left(Y \le y\right)\\ &=P \left(\frac{1}{X} \le y\right)\\ &=P \left(\frac{1}{y} \le X\right) \end{align} 累積分布関数の定義式 $P \left(x \le X\right)=1-F \left(x\right)$ より、 \begin{align} G \left(y\right)&=1-P \left(X \le \frac{1}{y}\right)\\ &=1-F \left(\frac{1}{y}\right) \end{align} 確率密度関数を $g \left(y\right)$ とすると、累積分布関数と確率密度関数との関係 $f \left(x\right)=\frac{d}{dx}F \left(x\right)$ より、 \begin{align} g \left(y\right)&=\frac{d}{dy}G \left(y\right)\\ &=\frac{d}{dy} \left\{1-F \left(\frac{1}{y}\right)\right\}\\ &=-f \left(\frac{1}{y}\right)\frac{d}{dy} \left(\frac{1}{y}\right)\\ &=f \left(\frac{1}{y}\right) \cdot \frac{1}{y^2} \end{align} $\blacksquare$
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