逆数変換後の確率密度関数の導出

確率変数 $Y$ の累積分布関数を $G\left(y\right)$ とすると、累積分布関数の定義式 $F\left(x\right)=P(X\le x)$ より、 $$\begin{array}{rl}G\left(y\right)& =P(Y\le y)\\ & =P(\frac{1}{X}\le y)\\ & =P(\frac{1}{y}\le X)\end{array}$$ 累積分布関数の定義式 $P(x\le X)=1-F\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}G\left(y\right)& =1-P(X\le \frac{1}{y})\\ & =1-F\left(\frac{1}{y}\right)\end{array}$$ 確率密度関数を $g\left(y\right)$ とすると、累積分布関数と確率密度関数との関係 $f\left(x\right)=\frac{d}{dx}F\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}g\left(y\right)& =\frac{d}{dy}G\left(y\right)\\ & =\frac{d}{dy}\{1-F\left(\frac{1}{y}\right)\}\\ & =-f\left(\frac{1}{y}\right)\frac{d}{dy}\left(\frac{1}{y}\right)\\ & =f\left(\frac{1}{y}\right)\cdot \frac{1}{y^2}\end{array}$$ $◼$