確率の乗法定理の証明

任意の自然数 $n$ に関する数学的帰納法によって示す。

（i）$n=1$ のとき、 $$\begin{array}{r}P\left(A\right)=P\left(A\right)\end{array}$$ となるので、命題は成り立つ。

（ii）$n=2$ のとき、条件付き確率の定義 $P\left(A_1\right|A_2)=\frac{P(A_1\cap A_2)}{P\left(A\right)}$ より、 $$\begin{array}{r}P(A_1\cap A_2)=P\left(A_1\right)\cdot P\left(A_1\right|A_2)\end{array}$$ となるので、命題は成り立つ。

（iii）$n=k$ において与えられた命題が成り立つ、すなわち、 $$\begin{array}{c}P(A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_k)=P\left(A_1\right)\cdot P\left(A_2\right|A_1)\cdot P\left(A_3\right|A_1\cap A_2)\cdot \cdots \hfill \\ \hfill \cdot P\left(A_k\right|A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_{k-1})\end{array}$$ を仮定する。 このとき、 $$\begin{array}{c}P(A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_k\cap A_{k+1})=P(A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_k)\hfill \\ \hfill \cdot P\left(A_{k+1}\right|A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_k)\end{array}$$ 帰納法の仮定より、 $$\begin{array}{c}P(A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_k\cap A_{k+1})=P\left(A_1\right)\cdot P\left(A_2\right|A_1)\cdot P\left(A_3\right|A_1\cap A_2)\cdot \cdots \hfill \\ \hfill \cdot P\left(A_k\right|A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_{k-1})\cdot P\left(A_{k+1}\right|A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_k)\end{array}$$ となるので、命題は成り立つ。

（i）～（iii）から、数学的に帰納法により、 $$\begin{array}{c}P(A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n)=P\left(A_1\right)\cdot P\left(A_2\right|A_1)\cdot P\left(A_3\right|A_1\cap A_2)\cdot \hfill \\ \hfill \cdots \cdot P\left(A_k\right|A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_{k-1})\end{array}$$ $◼$