確率の乗法定理の証明

任意の自然数 $n$ に関する数学的帰納法によって示す。

（i）$n=1$ のとき、 \begin{align} P \left(A\right)=P \left(A\right) \end{align} となるので、命題は成り立つ。

（ii）$n=2$ のとき、条件付き確率の定義 $P \left(A_1\middle| A_2\right)=\frac{P \left(A_1 \cap A_2\right)}{P \left(A\right)}$ より、 \begin{align} P \left(A_1 \cap A_2\right)=P \left(A_1\right) \cdot P \left(A_1\middle| A_2\right) \end{align} となるので、命題は成り立つ。

（iii）$n=k$ において与えられた命題が成り立つ、すなわち、 \begin{multline} P \left(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_k\right)=P \left(A_1\right) \cdot P \left(A_2\middle| A_1\right) \cdot P \left(A_3\middle| A_1 \cap A_2\right) \cdot \cdots \\ \cdot P \left(A_k\middle| A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_{k-1}\right) \end{multline} を仮定する。 このとき、 \begin{multline} P \left(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_k \cap A_{k+1}\right)=P \left(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_k\right)\\ \cdot P \left(A_{k+1}\middle| A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_k\right) \end{multline} 帰納法の仮定より、 \begin{multline} P \left(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_k \cap A_{k+1}\right)=P \left(A_1\right) \cdot P \left(A_2\middle| A_1\right) \cdot P \left(A_3\middle| A_1 \cap A_2\right) \cdot \cdots \\ \cdot P \left(A_k\middle| A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_{k-1}\right) \cdot P \left(A_{k+1}\middle| A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_k\right) \end{multline} となるので、命題は成り立つ。

（i）～（iii）から、数学的に帰納法により、 \begin{multline} P \left(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n\right)=P \left(A_1\right) \cdot P \left(A_2\middle| A_1\right) \cdot P \left(A_3\middle| A_1 \cap A_2\right) \cdot \\ \cdots \cdot P \left(A_k\middle| A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_{k-1}\right) \end{multline} $\blacksquare$