正規分布の定義と概要

本稿では、正規分布の定義と概要についてまとめています。確率密度関数であることの証明、期待値・分散、モーメント母関数、再生性の紹介が含まれます。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

正規分布

確率密度関数

確率変数 $X$ の確率密度関数が $$\begin{array}{c}\begin{array}{cc}f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}}& -\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }\end{array}\\ -\mathrm{\infty }<\mu <\mathrm{\infty }0<\sigma \end{array}$$ で与えられるとき、 $X$ はパラメータ $$\begin{array}{r}\mu {\sigma }^2\end{array}$$ の正規分布 normal distribution に従うという。

略記法

また、正規分布は、 $$\begin{array}{r}\mathrm{N}(\mu ,{\sigma }^2)\end{array}$$ と略記されることがある。

標準正規分布

特に、$\mu =0,{\sigma }^2=1$ の正規分布を 標準正規分布 standard normal distribution という。 確率変数 $Z$ の確率密度関数は、 $$\begin{array}{r}\begin{array}{cc}\varphi \left(z\right)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}}& -\mathrm{\infty }<z<\mathrm{\infty }\end{array}\end{array}$$ で与えられる。

確率密度関数であることの証明

重要事項のまとめ

略記法

$$\begin{array}{r}\mathrm{N}(\mu ,{\sigma }^2)\end{array}$$

パラメータ

$$\begin{array}{c}-\mathrm{\infty }<\mu <\mathrm{\infty }\\ 0<\sigma \end{array}$$

確率密度関数

$$\begin{array}{r}\begin{array}{cc}f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}}& -\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }\end{array}\end{array}$$

期待値

$$\begin{array}{r}E\left(X\right)=\mu \end{array}$$

分散

$$\begin{array}{r}V\left(X\right)={\sigma }^2\end{array}$$

モーメント母関数

$$\begin{array}{r}{M}_X\left(\theta \right)=e^{\mu \theta +\frac{1}{2}{\sigma }^2{\theta }^2}\end{array}$$

再生性

正規分布には、再生性がある。

参考文献

• 小寺 平治 著. 数理統計：明解演習. 共立出版, 1986, p.57
• 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.126-134
• 竹村 彰通 著. 現代数理統計学. 創文社, 1991, p.30-32
• 稲垣 宣生 著. 数理統計学. 裳華房, 2003, p.36-41
• 久保川 達也 著, 新井 仁之, 小林 俊行, 斎藤 毅, 吉田 朋広 編. 現代数理統計学の基礎. 共立出版, 2017, p.40-42
• 黒木 学 著. 数理統計学：統計的推論の基礎. 共立出版, 2020, p.100-103

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