対数正規分布の定義と概要（確率密度関数の導出付き）

（i）すべての $x$ に関して、$f\left(x\right)\ge 0$
$$\begin{array}{c}0<\sigma \Rightarrow 0<\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\\ 0<e^a\Rightarrow 0<e^{-\frac{{(\log x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}\\ 0<x\Rightarrow 0<\frac{1}{x}\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma x}{e}^{-\frac{{(\log x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}\ge 0\end{array}$$ （ii）すべての確率の和が1 $$\begin{array}{r}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma x}{e}^{-\frac{{(\log x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}dx\end{array}$$ ここで、以下のように変数変換すると、 $$\begin{array}{c}t=\log x\iff x=e^t\\ x:0\to \mathrm{\infty }\Rightarrow t:0\to \mathrm{\infty }\\ \frac{dx}{dt}=e^t\Rightarrow dx=e^{t}dt\end{array}$$ となるので、 置換積分法により、 $$\begin{array}{rl}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-t}\cdot e^{-\frac{{(t-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}\cdot e^{t}dt\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\frac{{(t-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}dt\end{array}$$ ガウス積分の公式 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-a{u}^2}du=\sqrt{\frac{\pi }{a}}$ より、$a=\frac{1}{2{\sigma }^2},u=t-\mu$ とすると、 $$\begin{array}{r}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\cdot \sqrt{2\pi }\sigma =1\end{array}$$ よって、確率密度関数の定義を満たしているため、確率密度関数である。 $◼$

正規分布 $\mathrm{N}(\mu ,{\sigma }^2)$ の確率密度関数は、 $$\begin{array}{r}f\left(y\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{{(y-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}\end{array}$$ $X=e^Y$ の取り得る値の範囲は、 $$\begin{array}{r}y:-\mathrm{\infty }\to \mathrm{\infty }\Rightarrow x:0\to \mathrm{\infty }\end{array}$$ 指数変換の公式 $g\left(x\right)=f(\log x)\cdot \frac{1}{x}$ より、 $$\begin{array}{r}g\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma x}{e}^{-\frac{{(\log x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}\end{array}$$ $◼$