本稿では、対数正規分布の定義と概要についてまとめています。確率密度関数であることの証明、確率密度関数の導出、期待値・分散の紹介が含まれます。
なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
- スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
対数正規分布
定義・意味
確率変数 $Y=\log{X}$ が正規分布 \begin{align} Y \sim \mathrm{N} \left(\mu,\sigma^2\right) \end{align} に従うとき、 確率変数 $X$ が従う連続型確率分布 を対数正規分布 log-normal distribution という。
確率密度関数
確率密度関数 $f(x)$ は、 \begin{align} f \left(x\right)= \left\{\begin{matrix}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma x}e^{-\frac{ \left(\log{x}-\mu\right)^2}{2\sigma^2}}&0 \lt x\\0&\mathrm{other}\\\end{matrix}\right. \end{align} で与えられる。
略記法
また、対数正規分布は、 \begin{align} \mathrm{LN} \left(\mu,\sigma^2\right) \end{align} と略記されることがある。
確率密度関数であることの証明
（i）すべての $x$ に関して、$f \left(x\right) \geq 0$
\begin{gather}
0 \lt \sigma\Rightarrow0 \lt \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\\
0 \lt e^a\Rightarrow0 \lt e^{-\frac{ \left(\log{x}-\mu\right)^2}{2\sigma^2}}\\
0 \lt x\Rightarrow0 \lt \frac{1}{x}
\end{gather}
したがって、
\begin{align}
f \left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma x}e^{-\frac{ \left(\log{x}-\mu\right)^2}{2\sigma^2}} \geq 0
\end{align}
（ii）すべての確率の和が1
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}f \left(x\right)dx=\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma x}e^{-\frac{ \left(\log{x}-\mu\right)^2}{2\sigma^2}}dx}
\end{align}
ここで、以下のように変数変換すると、
\begin{gather}
t=\log{x}\Leftrightarrow x=e^t\\
x:0\rightarrow\infty \quad \Rightarrow \quad t:0\rightarrow\infty\\
\frac{dx}{dt}=e^t\Rightarrow dx=e^tdt
\end{gather}
となるので、
置換積分法により、
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}f \left(x\right)dx&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-t} \cdot e^{-\frac{ \left(t-\mu\right)^2}{2\sigma^2}} \cdot e^tdt}\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-\frac{ \left(t-\mu\right)^2}{2\sigma^2}}dt}
\end{align}
ガウス積分の公式 $\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-au^2}du}=\sqrt{\frac{\pi}{a}}$ より、$a=\frac{1}{2\sigma^2},u=t-\mu$ とすると、
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}f \left(x\right)dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \cdot \sqrt{2\pi}\sigma=1
\end{align}
よって、確率密度関数の定義を満たしているため、確率密度関数である。
$\blacksquare$
確率密度関数の導出
正規分布 $\mathrm{N} \left(\mu,\sigma^2\right)$ の確率密度関数は、 \begin{align} f \left(y\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{ \left(y-\mu\right)^2}{2\sigma^2}} \end{align} $X=e^Y$ の取り得る値の範囲は、 \begin{align} y:-\infty\rightarrow\infty \quad \Rightarrow \quad x:0\rightarrow\infty \end{align} 指数変換の公式 $g \left(x\right)=f \left(\log{x}\right) \cdot \frac{1}{x}$ より、 \begin{align} g \left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma x}e^{-\frac{ \left(\log{x}-\mu\right)^2}{2\sigma^2}} \end{align} $\blacksquare$
重要事項のまとめ
略記法
\begin{align} \mathrm{LN} \left(\mu,\sigma^2\right) \end{align}
パラメータ
\begin{gather} -\infty \lt \mu \lt \infty\\ 0 \lt \sigma \end{gather}
確率密度関数
\begin{align} f \left(x\right)= \left\{\begin{matrix}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma x}e^{-\frac{ \left(\log{x}-\mu\right)^2}{2\sigma^2}}&0 \lt x\\0&\mathrm{other}\\\end{matrix}\right. \end{align}
期待値
\begin{align} E \left(X\right)=e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}} \end{align}
分散
\begin{align} V \left(X\right)=e^{2\mu+\sigma^2} \left(e^{\sigma^2}-1\right) \end{align}
0 件のコメント:
コメントを投稿