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確率変数のたたみこみ

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【2023年3月2週】 【B000】数理統計学 【B020】確率変数と確率分布

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本稿では、確率変数のたたみこみの公式が成り立つことを証明しています。

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【定理】確率変数のたたみこみ

【定理】
確率変数のたたみこみ
Convolution of Random Variables

互いに独立な連続型確率変数 X.Y の同時確率密度関数を f(x,y) それぞれの確率密度関数を g(x)h(y) とするとき、 Z=X+Y という変数変換を行ったときの 確率密度関数は、 k(z)=∫−∞∞g(x)⋅h(s−x)dx で与えられる。 なお、離散型の場合も同様に、 k(z)=∑x=−∞∞g(x)⋅h(s−x) で与えられる。

 

証明

証明

確率変数の和の確率密度関数の公式より、 g(s)=∫−∞∞f(x,s−x)dx 確率変数の独立性の定義式 f(x,y)=g(x)⋅h(y) より、 k(s)=∫−∞∞g(x)⋅h(s−x)dx ◼

 

参考文献

  • 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.66-67
  • 竹村 彰通 著. 現代数理統計学. 創文社, 1991, p.44
  • 久保川 達也 著, 新井 仁之, 小林 俊行, 斎藤 毅, 吉田 朋広 編. 現代数理統計学の基礎. 共立出版, 2017, p.71-72

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大学時代に読書の面白さに気づいて以来、読書や勉強を通じて、興味をもったことや新しいことを学ぶことが生きる原動力。そんな人間が、その時々に学んだことを備忘録兼人生の軌跡として記録しているブログです。

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